11. (1EE-2019.2) Considere a curva C dada por y 4 x 3 - y 3 + x 5 - x y 2 = 0 .

(a) Determine uma expressão para y ' = d y d x em termos de x e y .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, nosso objetivo é obter a derivada de y com relação a x da equação y 4 x 3 - y 3 + x 5 - x y 2 = 0 .

E aí, como podemos fazer isso? 👀

O desafio aqui é que nós não conseguiríamos isolar y em um lado e derivar o outro lado com relação a x .

Nesses casos, há uma aplicação muito interessante que é a derivação implícita.

Dada uma equação, passamos todos os termos para um lado da igualdade, igualando a 0 e depois aplicamos a fórmula da derivada implícita

d y d x = - f x f y

Em que f x e f y são as derivadas parciais de x e y da equação.

Sacou? Bora começar! 😎

Passo 2

Nossa equação já está igualada a 0 , então se fizemos f x , y = 0 , temos

f x , y = 0 = y 4 x 3 - y 3 + x 5 - x y 2

f x , y = y 4 x 3 - y 3 + x 5 - x y 2

Derivando f parcialmente em relação a x , temos

f x = y 4 3 x 3 - 1 - 0 y 3 + 5 x 5 - 1 - 1 x 1 - 1 y 2

f x = 3 x 2 y 4 + 5 x 4 - y 2

Agora fazemos o mesmo para y

f y = 4 y 4 - 1 x 3 - 3 y 3 - 1 + 0 x 5 - x 2 y 2 - 1

f y = 4 x 3 y 3 - 3 y 2 - 2 x y

Assim, substituindo na fórmula da derivação implícita, temos

d y d x = - f x f y

d y d x = - 3 x 2 y 4 + 5 x 4 - y 2 4 x 3 y 3 - 3 y 2 - 2 x y

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

d y d x = - 3 x 2 y 4 + 5 x 4 - y 2 4 x 3 y 3 - 3 y 2 - 2 x y

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Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 + y^3 = 1
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub