Para cada equação determine d y d x .

h) e 2 x = sen ⁡ ( x + 3 y )

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação e nos pede a derivada d y d x , certinho?

Mas e aí, como podemos resolver essa derivada já que o y não está sozinho?

Uma dica é derivarmos os dois lados da igualdade e prosseguirmos com a manipulação algébrica até conseguirmos isolar o y .

Não entendeu? Então bora junto descobrir!! 😉

Passo 2

Seguinte... vamos primeiramente derivar os dois lados da igualdade:

d e 2 x d x = d sen ⁡ ( x + 3 y ) d x

A derivada de uma exponencial é dada da seguinte forma:

z = e u ⇒ z ' = e u u '

E a derivada do seno é dada da seguinte forma:

z = s e n u ⇒ z ' = u ' cos ⁡ u

Assim, aplicando na equação, temos:

2 e 2 x = cos ⁡ ( x + 3 y ) ∙ d d x ( x + 3 y )

Passo 3

Note que podemos fazer a derivada d d x ( x + 3 y ) da seguinte forma:

d d x x + 3 y = d x d x + d 3 y d x ∴

d d x x + 3 y = 1 + 3 d y d x

Opa!!! Perceba que conseguimos isolar o y !!! Agora é só aplicar na equação do Passo 2!!

Passo 4

Assim, substituindo na equação do Passo 2, temos:

2 e 2 x = cos ⁡ x + 3 y ∙ 1 + 3 d y d x ∴

2 e 2 x cos ⁡ x + 3 y = 1 + 3 d y d x ∴

3 d y d x = 2 e 2 x cos ⁡ x + 3 y - 1 ∴

d y d x = 2 e 2 x 3 cos ⁡ x + 3 y - 1 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d y d x = 2 e 2 x 3 cos ⁡ x + 3 y - 1 3

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub