Dê o que se pede:

  1. Determine as constantes a ,   b ∈ R tais que:
  2. lim x → ∞ ⁡ a x + b - x 1000 + 1 x 999 + 1 = 0

  3. Prove ou dê um contraexemplo:

“Seja f uma função definida e derivável em todo R . Se a derivada de f for contínua, então f é derivável até segunda ordem em todo R .

Passo 1

Falaaa consagrado! O ponto-chave desta questão é um teorema simples que diz que:

“Derivabilidade implica continuidade”

No enunciado temos o uso do contrário (e portanto não necessariamente verdadeiro) onde a continuidade de f ' implica sua derivabilidade: f ' ' contínua. Um contraexemplo para a afirmativa é :

f x = x 1.1

Pois observe que f ' x = 1.1   x 0.1 é contínua para x ∈ R , porém f ' ' x = 0.11 x 0.9 é descontínua em x = 0 .

Resposta

C O N T R A E X E M P L O :   f x = x 1.1

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub