Usando o teorema da função implícita, encontre d y d x da função a seguir

x ² - y ² + 3 y = 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular a derivada d y d x de

x ² - y ² + 3 y = 1

Usando o teorema da função implícita, e aí. Lembram como faz? Bora revisar

Geralmente, quando vamos derivar temos algo da forma

y = f ( x )

Ou seja, conseguimos separar y e x para cada lado da igualdade, mas quando não conseguimos fazer isso, como resolvemos a derivação?

A solução é escrever y como função de x da seguinte forma,

y = y ( x )

Dessa forma, quando formos derivar em relação a x Fazemos uso da regra da cadeia. Vai ficar mais claro na questão a seguir,

Passo 2

Vamos começar derivando

x ² - y ² + 3 y = 1

em relação a x . mas temos que y = y ( x ) . Então,

x ² - y ( x ) ² + 3 y ( x ) = 1

derivando, temos:

2 x - d d x y ( x ) ² + 3 d d x y ( x ) = 1

Agora, usamos a regra da cadeia.

2 x - 2 y ( x ) y ' ( x ) + 3 y ' ( x ) = 0

portanto,

y ' ( x ) = 2 x 2 y ( x ) - 3

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Exercício de Livro
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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub