Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Determine a expressão de pelo menos duas funções y = y ( x ) definidas implicitamente pela equação x y 2 + x + y = 1 . Explicite seus domínios.

Passo 1

A questão pede uma expressão que tenha y em função de x a partir da expressão dada, porém essa expressão não tem uma forma favorável para isolarmos o y e achar uma função de x . Então a alternativa é a seguinte: observe que essa expressão parece uma equação do segundo grau, se considerarmos x uma constante. Portanto vamos resolver como uma equação do segundo grau.

x y 2 + x + y - 1 = 0

x y 2 + y + x - 1 = 0

O delta é:

∆   = 1 2 - 4 x x - 1 = 1 - 4 x 2 + 4 x

Finalmente:

y = - 1 ± 1 - 4 x 2 + 4 x 2 x

Portanto, as expressões que o enunciado pede são:

y = - 1 + 1 - 4 x 2 + 4 x 2 x

y = - 1 - 1 - 4 x 2 + 4 x 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos determinar o domínio dessas expressões. Temos que

2 x ≠ 0

x ≠ 0

E

1 - 4 x 2 + 4 x ≥ 0

1 - 4 x 2 + 4 x ≥ 0

1 + 2 2 > x > 1 - 2 2

Então o domínio é

1 - 2 2 , 0 ⋃ 0 , 1 + 2 2

Resposta

y = - 1 + 1 - 4 x 2 + 4 x 2 x

y = - 1 - 1 - 4 x 2 + 4 x 2 x

d o m í n i o = 1 - 2 2 , 0 ⋃ 0 , 1 + 2 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas