Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Propriedades dos Limites

Seja f uma função derivável definida em um intervalo aberto centrado em x = 0 e dada implicitamente pela equação:

y 3 + x y 2 + y = 2 sen ⁡ x + 2

Qual é o valor de f ' 0 ?

Passo 1

Vamos derivar essa função implicitamente:

y 3 ' = 3 y 2 y '

x y 2 ' = x ' y 2 + x y 2 ' = y 2 + 2 x y y '

y ' = y '

2 sen ⁡ x ' = 2 cos ⁡ x

2 ' = 0

Logo, teremos:

3 y 2 y ' + y 2 + 2 x y y ' + y ' = 2 cos ⁡ x

y ' 3 y 2 + 2 x y + 1 = 2 cos ⁡ x - y 2

y ' = 2 cos ⁡ x - y 2 3 y 2 + 2 x y + 1 = f ' x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, agora bastaria substituir 0 , f 0 , onde f 0 seria o valor de y quando x = 0 . E quanto vale isso? Basta substituir x = 0 na equação inicial e achamos.

y 3 + x y 2 + y = 2 sen ⁡ x + 2

y 3 + 0 y 2 + y = 2 sen ⁡ 0 + 2

y 3 + y = 2

y 3 + y - 2 = 0

Repara ali, y = 1 será raiz desse problema. Dividindo o polinômio por y - 1 , temos:

y - 1 y 2 + y + 2 = 0

Esse cara do segundo grau, por Bhaskara, não terá raízes reais! Daí a gente conclui, o único resultado possível para y , nesse caso, é y = 1 !

y = 1

Passo 3

Assim, f ' 0 será:

f ' 0 = 2 cos ⁡ x - y 2 3 y 2 + 2 x y + 1

= 2 cos ⁡ 0 - 1 2 3 1 2 + 2 0 1 + 1

= 2 1 - 1 3 1 + 0 + 1

= 2 - 1 3 + 1

f ' 0 = 1 4

Resposta

f ' 0 = 1 4

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