Usando o teorema da função implícita, encontre d y d x da função a seguir

y = x e x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular a derivada d y d x de

y = x e x

Usando o teorema da função implícita, e aí. Lembram como faz? Bora revisar

Geralmente, quando vamos derivar temos algo da forma

y = f ( x )

Ou seja, conseguimos separar y e x para cada lado da igualdade, mas quando não conseguimos fazer isso, como resolvemos a derivação?

A solução é escrever y como função de x da seguinte forma,

y = y ( x )

Dessa forma, quando formos derivar em relação a x Fazemos uso da regra da cadeia. Vai ficar mais claro na questão a seguir,

Passo 2

Vamos começar derivando

y = x e x

Mas como fazemos isso???? Vamos reescrever essa função de outra forma, temos que

y = x e x

⇒ l n ( y ) = e x l n ( x )

Agora podemos derivar em relação a x . mas temos que y = y ( x ) . Então,

l n ( y ( x ) ) = e x l n ( x )

derivando, temos:

d d x l n ( y ( x ) ) = e x l n ( x ) + e x / x

Agora, usamos a regra da cadeia para calcular d d x l n ( y ( x ) ) .

1 y ( x ) * y ' ( x ) = e x l n ( x ) + e x / x

Logo,

y ' ( x ) = ( e x l n ( x ) + e x / x ) y ( x )

Mas temos que

y ( x ) = x e x

portanto,

y ' ( x ) = ( e x l n ( x ) + e x / x ) y ( x )

= ( e x l n ( x ) + e x / x ) x e x

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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