Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Regras de Derivação II

Considere a curva definida, implicitamente, pela equação

x y = 2 x - y + x 2 y

Ache o coeficiente angular da reta tangente a essa curva no ponto 1,1 .

Passo 1

Acharmos o coeficiente angular é o mesmo que acharmos a derivada da função naquele ponto. Para isso devemos derivar implicitamente a equação da curva.

x y ' = 2 x - y + x 2 y '

Aplicando as regras de derivação

x - 1 / 2 2 ⋅ y 1 / 2 + x 1 / 2 ⋅ y - 1 / 2 ⋅ y ' 2 = 2 1 - y ' + 2 x y + x 2 y '

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Poderíamos escrever o valor de y ' separado, mas vamos substituir logo os valores de x e y pelos valores no ponto que isso facilita nossas contas

1 - 1 / 2 2 ⋅ 1 1 / 2 + 1 1 / 2 ⋅ 1 - 1 / 2 ⋅ y ' 2 = 2 1 - y ' + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 2 y '

1 2 + y ' 2 = 2 1 - y ' + 2 + y '

1 + y ' = 4 - 4 y ' + 4 + 2 y '

y ' + 4 y ' - 2 y ' = 4 + 4 - 1

3 y ' = 7

y ' = 7 3

Resposta

y ' = 7 3

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