Usando o teorema da função implícita, encontre d y d x da função a seguir

x ² + y ²   + x ² = 20

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular a derivada d y d x de

x ² + y ²   + x ² = 20

Usando o teorema da função implícita, e aí. Lembram como faz? Bora revisar

Geralmente, quando vamos derivar temos algo da forma

y = f ( x )

Ou seja, conseguimos separar y e x para cada lado da igualdade, mas quando não conseguimos fazer isso, como resolvemos a derivação?

A solução é escrever y como função de x da seguinte forma,

y = y ( x )

Dessa forma, quando formos derivar em relação a x Fazemos uso da regra da cadeia. Vai ficar mais claro na questão a seguir,

Passo 2

Vamos começar derivando

x ² + y ²   + x ² = 20

em relação a x . mas temos que y = y ( x ) . Então,

x ² + y ( x ) ²   + x ² = 20

derivando, temos:

d d x x ² + y ( x ) ²   + 2 x = 0

Agora, usamos a regra da cadeia.

1 2 x ² + y ( x ) ² * d d x ( x ² + y ( x ) ² ) + 2 x = 0

Aqui, precisamos usar a regra da cadeia uma segunda vez. Logo

1 2 x ² + y ( x ) ² ( 2 x + 2 y ( x ) y ' ( x ) ) + 2 x = 0

Então, temos:

( x + y ( x ) y ' ( x ) ) = - 2 x x ² + y ( x ) ²

Logo,

y ' ( x ) = ( - 2 x x ² + y ( x ) ² - x ) / y ( x )

Mas temos que

x ² + y ( x ) ² = 20 - x ²

portanto,

y ' ( x ) = ( - 2 x ( 20 - x ² ) - x ) / y ( x )

= ( - 41 x + 2 x ³ ) / y ( x )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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