Seja E a elipse de equação x 2 + 4 y 2 = 36 . Existem 2 retas tangentes a E que passam pelo ponto (12,3). Encontre as equações dessas retas.

Passo 1

Opa, e aí galerinha!! Vamos partir do fato que, derivando implicitamente a equação, teremos como encontrar a inclinação da reta, certo?

x 2 + 4 y 2 = 36 → 2 x d x + 8 y d y = 0

d x d y = - x 4 y

Outra coisa que precisamos lembrar sempre é que uma equação da reta sempre será dada pela equação:

y - y 0 = d y d x x - x o

Passo 2

Substituindo os nossos pontos dados x 0 , y 0 = ( 12 ,   3 ) teremos que:

y - 3 = - x 4 y ( x - 12 )

4 y 2 - 12 y = - x 2 + 12 x

Mas olha que legal, o enunciado disse pra gente que x 2 + 4 y 2 = 36 , podemos dizer que 4 y 2 = 36 - x 2 . Substituindo isso,

36 - x 2 - 12 y = - x 2 + 12 x

12 y = - 12 x + 36

y = - x + 3

Passo 3

Substituindo-se esse resultado para y em nossa equação original do problema, obtem-se:

x 2 + 4 - x + 3 2 = 36

x 2 + 4 x 2 - 6 x + 9 = 36

x 2 + 4 x 2 - 24 x + 36 = 36

5 x 2 - 24 x = 0

x 2 - 24 5 x = 0 → x x - 24 5 = 0

Substituindo essas duas raízes na equação y = - x + 3 temos como encontrar dois pontos, ou seja, quando x = 0 e x = 24 / 5 , teremos respectivamente os valores de y iguais a 3 e - 9 / 5 . Assim, temos os pontos:

( 0,3 ) e 24 5 ,   - 9 5

Passo 4

Agora, podemos obter finalmente o que foi solicitado.

Para a primeira reta que passa pela elipse tocando em (0, 3) teremos:

d y d x = - x 4 y = - 0 3 = 0

y - y 0 = d y d x x - x 0

y - 3 = 0

y = 3

Fazendo de forma semelhante para a segunda reta teremos:

d y d x = - x 4 y = - 24 5 - 4 × 9 5 = 2 3

Substituindo na equação da reta tangente, temos:

y + 9 5 = 2 3 x - 24 5 → y = 2 3 x - 5

Resposta

y = 2 3 x - 5

y = 3

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub