Encontre y ' para cada uma das curvas abaixo:

a )   x y 2 + t g y = e x + 2 - s e n y

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão fala de derivada de uma curva! Precisamos encontrar a derivada dessa função aqui

x y 2 + t g y = e x + 2 - s e n y

Puxa, vida e agora? Como derivar isso?

Quando você tiver que derivar uma curva você estará derivando implicitamente

Isso significa que você irá aplicar a derivada dos dois lados da curva e considerar y como uma função de x ! Mas o que isso significa em termos práticos?

Significa que você precisará aplicar as regras de derivação (produto, quociente, fórmulas já conhecidas) nos termos que tem y ! E nele ainda aplicar a regra da cadeia, por exemplo

d d x y 2 = 2 y   . d y d x

Pois estamos derivando y e dentro dele ainda temos uma função que depende de x ! Por isso a regra da cadeia!

Nesses casos de derivação implícita a gente sempre considera as variáveis como função de x , e multiplica pela d v a r i á v e l d x no final!

Mas fica calmo, é mais tranquilo do que parece! E é lógico que vou fazer passo a passo com você! Bora começar?

Passo 2

Nossa curva é a seguinte

x y 2 + t g y = e x + 2 - s e n y

Vamos aplicar a derivada em relação a x dos dois lados

d d x x y 2 + t g y = d d x e x + 2 - s e n y

Beleza? Como a derivada da soma é a soma das derivadas, podemos derivar separadamente cada termo, saca só

d d x x y 2 + d d x t g y = d d x e x + d d x 2 - d d x ( s e n y )

tudo bem até aqui? Nossa missão agora é encontrar todas essas derivadas!

Passo 3

Vamos começar com as derivadas do lado direito:

d d x e x ⏝ 1 ª + d d x 2 ⏝ 2 ª - d d x s e n y ⏝ 3 ª

Do primeiro termo temos a derivada da exponencial

d d x e x = e x d x d x = e x

Do segundo a derivada de uma constante

d d x 2 = 0

E do terceiro a derivada do seno (mas ele está em y ! Atenção aqui!)

- d d x s e n y = - cos ⁡ y . d y d x

Tudo bem? Tranquilo? Agora nossa missão é encontrar a derivada do lado esquerdo da nossa curva!

Passo 4

Do lado esquerdo temos:

d d x x y 2 ⏝ 1 ª + d d x t g y ⏝ 2 ª

Começando pela primeira derivada: temos um produto de duas funções que dependem de x ! Então aqui vamos usar regra do produto!

d d x x y 2 = 1 . y 2 d x d x + x . 2 y . d y d x = y 2 + 2 x y d y d x

E por fim a segunda derivada

d d x t g y = sec 2 ⁡ y d y d x

Show! Agora vamos juntar tudo! Vem comigo!

Passo 5

Nossa curva era:

x y 2 + t g y = e x + 2 - s e n y

Derivamos do lado esquerdo:

d d x x y 2 + t g y = y 2 + 2 x y d y d x + sec 2 ⁡ y d y d x

E do lado direito:

d d x e x + 2 - s e n y = e x - cos ⁡ y . d y d x

d y d x :

y 2 + 2 x y d y d x + sec 2 ⁡ y d y d x = e x - cos ⁡ y . d y d x

2 x y d y d x + sec 2 ⁡ y d y d x + cos ⁡ y . d y d x = e x - y 2

Podemos colocar d y d x em evidência do lado esquerdo

d y d x 2 x y + sec 2 ⁡ y + cos ⁡ y = e x - y 2

E isolar

d y d x = e x - y 2 2 x y + sec 2 ⁡ y + cos ⁡ y

Lembrando que d y d x = y ' , acabamos de encontrar uma expressão para a derivada de y dessa curva!

y ' = e x - y 2 2 x y + sec 2 ⁡ y + cos ⁡ y

E é isso pessoal! Nossa resposta fica assim mesmo! Vamos treinar mais?

Resposta

y ' = e x - y 2 2 x y + sec 2 ⁡ y + cos ⁡ y

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Exercício de Livro
Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 + y^3 = 1
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub