Use derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva

x 2 - 2 x y - y 2 + x = 2

no ponto ( 1,2 )

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1.

Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente à curva

x 2 - 2 x y - y 2 + x = 2

no ponto ( 1,2 )

Como fazemos isso? Vale lembrar que para conseguirmos a equação da reta tangente precisamos de duas coisas, o coeficiente angular da reta e um ponto. No nosso caso o ponto é ( 1,2 ) . Mas qual é o coeficiente angular da reta tangente? Ora se a reta é tangente então o coeficiente angular será a própria derivada da curva. Lembram que a derivada dá o coeficiente da reta tangente? Show?

Mas para montar a reta, como fazemos? Bem se m é o coeficiente angular, e ( x 0 , y 0 ) é um ponto dessa reta, então a reta pode ser definida como:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Com isso em mente, vamos começar calculando a derivada implícita da nossa curva

Passo 2

Como a nossa curva é

x 2 - 2 x y - y 2 + x = 2

A sua derivada implícita é:

d d x x 2 - 2 x y - y 2 + x = d d x 2

Usando a linearidade da derivada:

d d x x 2 - d d x 2 x y - d d x y 2 + d d x x = d d x 2

⇒ 2 x - d d x 2 x y - d d x y 2 + 1 = 0

Usando a derivada do produto:

⇒ 2 x - 2 y - x d d x y - d d x y 2 + 1 = 0

Usando a regra da cadeia:

⇒ 2 x - 2 y - x d d x y - 2 d d x y + 1 = 0

Mudando a notação ( d d x y   =   y ' )

⇒ 2 x - 2 y - x y ' - 2 y ' + 1 = 0

Ou seja, nossa derivada é:

2 x - 2 y - x y ' - 2 y ' + 1 = 0

Passo 3

Já calculamos a nossa derivada, agora precisamos montar a reta tangente ao ponto ( 1,2 ) . E para isso precisamos do coeficiente angular da reta nesse ponto, que, como falamos no passo 1, é a derivada avaliada nesse ponto. Então,

2 x - 2 y - x y ' - 2 y ' + 1 = 0

fazendo x = 1   e   y = 2 temos:

2 * 1 - 2 * 2 - 1 * y ' - 2 y ' + 1 = 0

2 - 4 - 3 y ' + 1 = 0

- 3 y ' = 1

⇒ y ' = - 1 / 3

Prontinho, agora podemos montar a equação da reta. Se m é o coeficiente angular, e ( x 0 , y 0 ) é um ponto dessa reta, então a reta pode ser definida como:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

No nosso caso, m = - 1 / 3   e   ( x 0 , y 0 ) = ( 1,2 ) . Então a reta é

y - 2 = - 1 3 ( x - 1 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y - 2 = - 1 3 ( x - 1 )

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