Calcule:

a )   ( x x + 1 + l n ( a r c t g ( 3 x ) ) ) '

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

O enunciado aqui não é muito detalhado, ele pede com que calculemos o seguinte

( x x + 1 + l n ( a r c t g ( 3 x ) ) ) '

Note que esta é a derivada da função

f ( x ) = x x + 1 + l n ( a r c t g ( 3 x ) )

Mas como calcular essa derivada? Vamos precisar utilizar algumas derivadas conhecidas juntamente com a regra da cadeia, além de algumas propriedades do logaritmo neperiano, vou apresentá-las uma de cada vez! Vem comigo!

Passo 2

Vamos primeiro calcular a derivada de

y = x x + 1

Para resolver isso, vamos ter que utilizar derivação implícita! Só que antes de sairmos derivando, vamos tentar resolver o problema de termos um x no expoente. A seguinte propriedade do logaritmo é útil tendo em vista este problema

l n ( a c ) = c   l n ( a )

De forma que se eu aplicar o l n em ambos os lados da minha função, temos que

l n ( y ) = l n ( x x + 1 )

Ou seja, utilizando a propriedade do logaritmo, temos que

l n ( y ) = ( x + 1 ) l n ( x ) = x l n ( x ) + l n ( x )

Para as outras derivadas agora precisaremos da regra do produto, da cadeia e lembrar a derivada do l n . Vem comigo!

Passo 3

Derivando então a função em ambos os lados em relação a x , temos

d d x [ l n ( y ) ] = d d x [ x l n ( x ) ] + d d x [ l n ( x ) ]

e, usando a regra do produto

d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = d d x [ f ( x ) ] g ( x ) + f ( x ) d d x [ g ( x ) ]

Temos que a nossa derivada pode ser expandida como

d d x [ l n ( y ) ] = d d x [ x ] l n ( x ) + x d d x [ l n ( x ) ] + d d x [ l n ( x ) ]

A esquerda da desigualdade teremos que utilizar a regra da cadeia

d d x ( f ( g ( x ) ) ) = d d g f ( g ) d ( g ( x ) ) d x

Temos em nosso caso que l n ( y ( x ) ) = f ( g ( x ) ) , portanto, temos que f = l n ( y ) e g ( x ) = y . A regra da cadeia faz com que nossa derivada se torne então

d d y [ l n ( y ) ] d d x ( y ) = d d x [ x ] l n ( x ) + x d d x [ l n ( x ) ] + d d x [ l n ( x ) ]

Agora vamos trabalhar com as derivadas conhecidas! Saca só!

Passo 4

Lembrando a regra do tombo, que diz que

d d x x = ( 1 ) x 1 - 1 = 1

e, também que

d d x l n ( x ) = 1 x

Podemos escrever que nossa integral toma a seguinte forma

1 y d d x ( y ) = l n ( x ) + x ( 1 x ) + 1 x = l n ( x ) + 1 x + 1

Como temos que y = x x + 1 , temos que isolar a derivada na equação acima, saca só

1 x x + 1 d d x [ x x + 1 ] = l n ( x ) + 1 x + 1

Multiplicando os dois lados por x x + 1 , temos que

d d x [ x x + 1 ] = x x + 1 l n ( x ) + x x + 1 x + x x = x x + 1 l n ( x ) + x x + x x

Resumindo, temos que

d d x [ x x + 1 ] = x x + 1 l n ( x ) + 2 x x

Vamos guardar este resultado para usarmos em nossa derivada original! O segundo termo que precisamos derivar também vai utilizar algumas integrais conhecidas e a regra da cadeia! Vem comigo!

Passo 5

Os dois termos que precisamos derivar são

( x x + 1 + l n ( a r c t g ( 3 x ) ) ) ' = d d x [ x x + 1 ] + d d x [ l n ( a r c t g ( 3 x ) ) ]

O primeiro já calculamos, o segundo requer que utilizemos a regra da cadeia com f = l n ( g ) e g = a r c t g ( 3 x ) . Temos que

d d x [ l n ( a r c t g ( 3 x ) ) ] = d d g [ l n ( g ) ] d d x [ a r c t g ( 3 x ) ]

Analogamente ao que usamos antes, temos que

d d g [ l n ( g ) ] = 1 g

E, utilizando que

d d x [ a r c t g ( 3 x ) ] = 3 1 + ( 3 x ) 2

Temos que nossa derivada se torna, usando que g ( x ) = a r c t g ( 3 x )

d d x [ l n ( a r c t g ( 3 x ) ) ] = d d g [ l n ( g ) ] d d x [ a r c t g ( 3 x ) ] = 3 a r c t g ( 3 x ) 1 9 x 2 + 1

Juntando nossos dois resultados, obtemos que

( x x + 1 + l n ( a r c t g ( 3 x ) ) ) ' = x x + 1 l n ( x ) + 2 x x + 3 a r c t g ( 3 x ) 1 9 x 2 + 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( x x + 1 + l n ( a r c t g ( 3 x ) ) ) ' = x x + 1 l n ( x ) + 2 x x + 3 a r c t g ( 3 x ) 1 9 x 2 + 1

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