Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Seja y x a função definida implícitamente pela relação e y +   y . ln ⁡ x = x em um intervalo contendo x = 1 . Então, y ' 1 é igual a:

  1. - 1
  2. 2
  3. 4
  4. 1

Passo 1

Encontrar y 1

Quando vemos questões de derivação implícita, mesmo que a gente não saiba a cara de y x , sempre vai ter um jeito de a gente achar o valor de y x = k . Sabe porque? Porque na hora de derivar a gente vai acabar escrevendo y ' x = f x ; y x e pra achar y ' k , só tendo y k . No nosso exemplo vamos ter k = 1 . Então vem comigo: vamos trocar x por 1 e y por y 1 na relação do enunciado:

e y +   y . ln ⁡ x = x

e y 1 +   y 1 . ln ⁡ 1 = 1

e y 1 = 1

ln ⁡ e y 1 = ln ⁡ 1

y 1 ln ⁡ e = 0

y 1 = 0

Viu só? Agora vamos tentar achar y ' 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar y ' 1

Pode parecer estranho derivar uma função que a gente nem sabe a cara, mas pelas derivações implícitas a gente tira de letra. Pegando a relação do enunciado e derivando em relação a x dos dois lados, vamos ter:

d d x e y +   y . ln ⁡ x = d d x x

e y x y ' x + y x x +   y ' x . ln ⁡ x = 1

e y x y ' x +   y ' x . ln ⁡ x = 1 - y x x

  y ' x . e y x + ln ⁡ x = x - y x x

y ' x = x -   y x x e y x + ln ⁡ x

Opa, já conseguimos trabalhar com isso em! Basta agora substituir y 1 = 0 e x = 1 . Vamo que vamo:

y ' 1 = 1 -   y 1 1 e y 1 + ln ⁡ 1

y ' 1 = 1 1 1

y ' 1 = 1

Resposta

L e t r a   D

y ' 1 = 1

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