A função y = f ( x ) , com y > 0 , é dada implicitamente por x 2 + 4 y 2 = 2 . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto de abscissa 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação e nos pede a equação da reta tangente da curva em um ponto indicado (quando ler “reta tangente em um ponto” já pensa na derivada hehe).

Bom... lembra como determina a equação de uma reta? Bora relembrar olhando a figura abaixo:

Primeiro, com a posição dos pontos A e B , a gente encontra a inclinação da reta α através da relação α = Δ y Δ x = y b - y a x b - x a .

Depois, aplicamos na equação da reta y = a x + b e descobrimos os valores de a e b !!

Mas como fazemos isso para um só ponto??? Bom, ao invés de fazer α = Δ y Δ x , a gente faz α = d y d x (pois estamos tendendo a zero a distância do ponto B ao ponto A ) e aplicamos em y b - y a x b - x a = α !!!

Pera pera... mas primeiro a gente tem que descobrir que ponto é esse né?

Então bora junto descobrir!! 😉

Passo 2

Seguinte.. a questão nos diz “no ponto de abscissa 1 ”, ou seja, em x = 1 .

Se pegarmos a nossa função e substituir x por 1 , encontramos o valor da ordenada, ou seja, encontramos o valor de y . Se liga:

x 2 + 4 y 2 = 2 ∴

1 2 + 4 y 2 = 2 ∴

y = 1 2

Assim, nosso ponto é 1 , 1 2

Passo 3

Agora que já temos nosso ponto, vamos primeiramente derivar implicitamente os dois lados da igualdade da nossa função:

d x 2 + 4 y 2 d x = d 2 d x

Do lado esquerdo aplicamos a regra da cadeia, em que d y d x = d y d u ∙ d u d x e, do lado direito, vemos que a derivada de uma constante é zero. Assim, temos:

2 x + 8 y   d y d x = 0 ∴

d y d x = - 2 x 8 y  

Passo 4

Dessa forma, substituindo o ponto p = 1 , 1 2 na derivada encontrada, temos:

d y d x = - 2 ( 1 ) 8 1 2 ∴

d y d x = - 1 2

E, aplicando na equação da reta y b - y a x b - x a = d y d x , temos:

y - 1 2 = - 1 2 x - 1 ∴

y = - x 2 + 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = - x 2 + 1

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub