Expresse d y d x em termos de x e y , onde y = f x é uma função derivável dada implicitamente pela equação:

f) x 2 y 3 + x y = 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função y = f ( x ) implícita e nos pede para derivarmos ela implicitamente.

Para isso, devemos derivar implicitamente a equação, ou seja, aplicarmos a derivada d y d x nos dois lados da igualdade de forma que devemos isolar o d y d x .

Vale lembrar que na derivação implícita ocorre a regra da cadeia, em que usamos sempre que existem funções compostas (uma função dentro da outra). Ela é dada dessa forma:

f g ( x ) ) ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

Não entendeu? Então bora junto descobrir!! 😉

Passo 2

Seguinte... vamos primeiramente derivar os dois lados da igualdade:

d x 2 y 3 + x y d x = d 2 d x ∴

d x 2 y 3 d x + d x y d x = d 2 d x

No lado esquerdo aplicamos a regra da cadeia, em que d y d x = d y d u ∙ d u d x . Assim, temos:

2 x y 3 + 3 x 2 y 2 d y d x + y + x d y d x = 0 ∴

d y d x 3 x 2 y 2 + x + 2 x y 3 + y = 0 ∴

d y d x = - 2 x y 3 + y 3 x 2 y 2 + x  

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d y d x = - 2 x y 3 + y 3 x 2 y 2 + x  

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Exercício de Livro
Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 + y^3 = 1
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub