Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Regras de Derivação II

Encontre d y d x no ponto ( - 1 , - 1 ) diferenciando implicitamente a curva definida por

x y = 2 + x 2 y

Passo 1

Bom, ele pediu a derivada de y em relação a x . Para isso ele pede que a gente faça derivação implícita. Lembra que a derivação se caracteriza por adicionar um y ' (pela Regra da Cadeia) na derivação, que é justamente quem a gente procura, no ponto ( - 1 , - 1 ) .

x y ' = 2 + x 2 y '

Para o primeiro termo temos que derivar o raiz e depois adicionar, pela Regra da Cadeia, a derivada do que está dentro dela:

x y ' = 1 2 1 x y x y '

Para o termo da derivada ali em cima usamos a Regra do Produto, lembrando que y é derivada de forma implícita:

1 2 1 x y x y ' = 1 2 1 x y 1 y + x y ' = 1 2 1 x y y + x y '

Para os segundo termo basta derivar direto, usando a Regra do Produto no segundo termo:

2 + x 2 y ' = 0 + 2 x y + x 2 y ' = 2 x y + x 2 y '

Junta tudo e substitui pelo ( - 1 , - 1 ) agora:

x y ' = 2 + x 2 y ' → 1 2 1 x y y + x y ' = 2 x y + x 2 y '

1 2 1 ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 ) + ( - 1 ) y ' = 2 ( - 1 ) ( - 1 ) + - 1 2 y '

1 2 - 1 - y ' = 2 + y '

- 1 2 - y ' 2 = 2 + y ' → 3 y ' 2 = - 5 2

y ' = d y d x = - 5 3

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Resposta

d y d x = - 5 3

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