4) Suponha que f é derivável e g x = f 2 cos ⁡ x . Sabendo que f 0 = 1 e f ' 0 = - 1 / 2 , calcule g ' ( π / 2 ) .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

A primeira coisa que pensamos quando vemos essa questão é “minha nossa! O que eu faço com essas informações??”

Vamos analisar o que a questão nos diz.

Temos uma função g x = f 2 cos ⁡ x onde contém uma função oculta f que é derivável e sabemos que f 0 = 1 e f ' 0 = - 1 / 2 .

O objetivo da questão é obter a derivada de g no ponto π / 2 .

Isso não ajudou muito, não é? Mas olha só vou dar outra dica, podemos aplicar algum método que já conhecemos pra obter g ' ?

Temos uma função composta, não é? Como derivamos uma função composta?

Exato!! A partir da regra da cadeia!!

A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é obtida derivando a função que está contida multiplicando pela derivada da função que contem a função contida substituindo a função contida por uma variável qualquer. Ou seja, se

g x = f h x

g ' x = h ' x · f ' h x ,     h x → u

Entender esse conceito já é 80% da questão concluída. Bora lá!

Passo 2

A função que temos, é

g x = f 2 cos ⁡ x

Se derivarmos g pela regra da cadeia, temos

g ' x = d cos ⁡ x d x · 2 f ' u

Perceba que escrevemos 2 f ' pois f estava elevado ao quadrado. Como se derivássemos x 2 , d x 2 / d x = 2 x .

Perceba também que u = cos ⁡ x .

Calculando a derivada de cos ⁡ x , temos - s e n x pelo teorema fundamental do cálculo.

d cos ⁡ x d x = - s e n x

Agora vamos olhar para 2 f ' u com mais atenção pois aqui está o segredo.

Passo 3

Sabemos que u = cos ⁡ x e queremos encontrar a derivada de g no ponto π / 2 , se substituímos π / 2 em u , vamos obter

u = cos ⁡ π 2

Qual o cosseno de 90 ° ? Exatamente!! 0 ! Logo nosso u será

u = 0

Substituindo u = 0 em 2 f ' u , temos

2 f ' 0

Mas o que é f ' 0 ??

Foi dado no enunciado que é igual a - 1 / 2 ! Substituindo f ' 0 por - 1 / 2 , em g ' , temos

g ' x = d cos ⁡ x d x · 2 f ' u

Fazendo x = π 2

g ' π 2 = - s e n π 2 · 2 f ' 0

g ' π 2 = - s e n π 2 · 2 - 1 2

Simplificando o resultado e calculando o seno de π / 2 , temos

g ' π 2 = - 1 · - 1

g ' π 2 = 1

Agora parece mais fácil?

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

g ' π 2 = 1

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a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub