Considere o Folium de Descartes

α t = 3 t 1 + t 3 , 3 t 2 1 + t 3 ,   t ≠ - 1

(a) Ache um vetor tangente e um vetor normal ao Folium de Descartes em t = 1 .

(b) Ache equações paramétricas da reta normal ao Folium de Descartes em t = 1 .

(c) Esta reta normal passa pela origem? Justifique.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

No enunciado da questão, foi dado um vetor que foi chamado de Folium de Descartes α t , onde

α t = 3 t 1 + t 3 , 3 t 2 1 + t 3 ,   t ≠ - 1

No item a) foi solicitado de descrevêssemos o vetor tangente e um vetor normal a α t em t = 1 .

Lembra como calculamos um vetor tangente e um vetor normal? 🤔

Um vetor tangente a uma curva descrita por um vetor é dado pela derivada desse vetor, ou seja, α ' t . Assim substituímos t por 1 e encontramos o vetor.

Já o vetor normal é obtido quando o produto interno dele com o vetor tangente é igual a 0 , ou seja, v → t g · v → n = 0 . Ou simplesmente, lembrando de geometria analítica, como temos um vetor tangente, podemos fazer v → t g = a , b → v → n = - b , a .

Já no item b) temos que encontrar as equações paramétricas do vetor normal a α t no instante t = 1 .

Lembrando que a equação paramétrica de um vetor é dada por um ponto conhecido do vetor + um vetor normal ao vetor multiplicado por uma variável paramétrica.

v k = x 0 y 0 + v → n k

E por fim, no item c), temos se a reta normal a α t passa pela origem em algum momento.

Parece um pouco grandinha, não é?

Mas relaxa, vamos nos dar bem! 😎

Passo 2

Vamos começar com o item a).

Temos que calcular o vetor tangente de α t e como dito no passo anterior, o vetor tangente de α t é dado por α ' t .

Então bora calcular a derivada de α t !

α ' t = d 3 t 1 + t 3 d t , d 3 t 2 1 + t 3 d t

Ambas as derivadas podem ser calculadas pela regra do quociente, lembra dela?

Quando temos uma função fracionada, podemos aplicar a regra do quociente, ou seja

d 3 t 1 + t 3 d t = d 3 t d t · 1 + t 3 - 3 t · d 1 + t 3 d t 1 + t 3 2

d 3 t 2 1 + t 3 d t = d 3 t 2 d t · 1 + t 3 - 3 t 2 · d 1 + t 3 d t 1 + t 3 2

Por derivação polinomial, temos

d 3 t 1 + t 3 d t = 3 t 1 - 1 · 1 + t 3 - 3 t · 0 · 1 + 3 t 3 - 1 1 + t 3 2 = 3 - 6 t 3 1 + t 3 2

d 3 t 2 1 + t 3 d t = 3 t 2 - 1 · 1 + t 3 - 3 t 2 · 0 · 1 + 3 t 3 - 1 1 + t 3 2 = 6 t - 3 t 4 1 + t 3 2

Logo, o vetor tangente é dado por

v → t g = α ' t = 3 - 6 t 3 1 + t 3 2 , 6 t - 3 t 4 1 + t 3 2

Substituindo t por 1

v → t g = α ' 1 = 3 - 6 1 3 1 + 1 3 2 , 6 1 - 3 1 4 1 + 1 3 2

v → t g = - 3 4 , 3 4

Também queremos um vetor perpendicular ( v → n = a , b ) a esse vetor tangente. Pelo produto interno entre eles, temos

v → t g · v → n = 0

- 3 4 , 3 4 a , b = 0

- 3 4 a + 3 4 b = 0

a = b

Lembrando de geometria analítica, um vetor perpendicular a outro é obtido pela relação v → t g = a , b → v → n = - b , a , se v → t g = - 3 4 , 3 4 , então

v → n = - 3 4 , - 3 4

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

No item b) queremos obter as equações paramétricas de α . como vimos no passo 1, a equação paramétrica de um vetor é dada por

v k = x 0 y 0 + v → n k

Já temos o vetor normal no ponto t = 1 , agora precisamos obter um ponto conhecido em α .

Se obtermos α 1 vamos conseguir os pontos que precisamos

α 1 = 3 1 1 + 1 3 , 3 1 2 1 + 1 3

α 1 = 3 2 , 3 2

Com isso, tiramos que v k é

v k = 3 2 3 2 + - 3 4 - 3 4 k

Ou também

v k = 3 2 - 3 4 k , 3 2 - 3 4 k

Por fim, no item c), queremos saber se existe um vetor normal a α que passa pela origem.

Pra isso, vamos analisar o vetor paramétrico normal, ou seja

3 2 - 3 4 k = 0 3 2 - 3 4 k = 0

Como as duas equações são iguais, podemos analisar apenas uma

3 2 - 3 4 k = 0

3 4 k = 3 2

k = 2

Com isso, provamos que quando k = 2 o vetor normal de α passa pela origem do sistema!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a) v → t g = - 3 4 , 3 4 , v → n = - 3 4 , - 3 4

b) v k = 3 2 - 3 4 k , 3 2 - 3 4 k

c) Sim, quando k = 2 .

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