Seja y   =   f ( x ) dada implicitamente por y 3 +   y   =   x . Suponha que f seja derivável.

Calcule f ′ ( x )   e a reta tangente ao gráfico de y   =   f ( x ) no ponto   ( 10 ,   f ( 10 ) ) .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez uma sobre derivada implícita

Nosso objetivo é calcular calcule f ' ( x ) e a reta tangente ao gráfico de y   =   f ( x ) no ponto   ( 10 ,   f ( 10 ) ) .

Passo 2

Bem, para calcularmos a derivada de y = f ( x ) , precisamos derivar a expressão a seguir de forma implícita

y 3 +   y   =   x

derivando temos:

d d x y 3   +   y ' =   1

usando a regra da cadeia

3 y 2 y '   +   y ' =   1

logo:

y ' = 1 / ( 3 y 2 + 1 )

Passo 3

Agora que temos a derivada, podemos calcular a reta tangente. Lembrando que a reta tangente ao gráfico de uma função y = f ( x )   no ponto ( a , b ) é dada por

y - b = y ' ( a ) ( x - a )

Então nossa reta tangente ao ponto   ( 10 ,   f ( 10 ) ) é

y ' ( 10 ) = 1 / ( 3 f ( 10 ) 2 + 1 )

E a reta é:

y - f ( 10 ) = ( x - 10 ) / ( 3 f ( 10 ) 2 + 1 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 + y^3 = 1
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub