P1. Em cada item:

(1) determine y ' implicitamente,

(2) encontre y explicitamente,

(3) derive o resultado obtido em (2) para encontrar y ' em termos de x ,

(4) substitua y encontrado em (2) na expressão encontrada em (1) e verifique que a resposta é consistente com o (3).

b )   2 x 2 + x + x y = 1

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema nos deu uma equação

2 x 2 + x + x y = 1

e pediu um total de (4) itens!

  • O primeiro é encontrar y ' (que é a derivada de y em relação a x ) implicitamente (ou seja, sem isolar o y da equação inicialmente). Essa derivada implícita pode ficar em termos de y viu, nada de se assustar!
  • Depois, no item (2), o exercício pede para isolarmos y . Aqui não tem muito mistério, é jogar tudo que tem x para um lado e y para o outro!
  • No item (3), temos: Com a expressão do item (2) na mão, é partir para a derivação desse cara! Aqui vale todas as regras de derivação que você conhece... A expressão que você vai encontrar aqui vai ser só em termos de x ! Já que y vai estar isolado bem bonitinho.
  • Por fim, o problema pede para substituirmos a expressão para y (que isolamos lá no item 2) na derivada implícita do item (1) para verificar se as derivadas são iguais.

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos para o item (1):

  1. Derivar implicitamente y '

A equação dada é a seguinte:

2 x 2 + x + x y = 1

Para derivar implicitamente precisamos seguir os seguintes passos:

  1. Tomar a derivada em relação a x de todos os termos da equação (lembrando que derivada de constante é zero)
  2. Nos termos com apenas x , derivar normalmente
  3. Nos termos com y , derivar normalmente y (com todas as regras que conhecemos, potência, trigonométrica, exponencial...) e multiplicar o termo por y '
  4. Quando tiver termo misto (tipo x y ), usar a regra do produto! (vale também para o quociente) E na hora de derivar y , colocar junto o y ' ! Derivou y , põe y ' no final!
  5. Depois de derivados todos os termos, é só isolar y ' no lado esquerdo! Taí nossa derivada implícita!

Vamos lá?

tomando a derivada de todos os termos da equação:

d d x 2 x 2 + d d x x + d d x x y = d d x ( 1 )

Derivando x normalmente, e sabendo que derivada de constante é zero temos:

4 x + 1 + d d x x y = 0

E agora vem a derivada em y ! Usando a regra do produto e quando for derivar y , colocando y ' no final, fica assim:

4 x + 1 + y + x y ' = 0

Estamos quase lá! Agora e só isolar esse y ' !

4 x + 1 + y + x y ' = 0

x y ' = - 4 x - 1 - y

y ' = - 4 x + 1 + y x

Pronto! Está aqui nossa derivada implícita y ' ! E a resposta do item (1), beleza?

Passo 3

Agora o item (2) pede para isolarmos y ! Então vamos relembrar qual é nossa equação:

2 x 2 + x + x y = 1

E aqui não tem truque! É álgebra purinha lá do colégio mesmo!

y x = 1 - 2 x 2 - x

E agora dividindo por x :

y = - 2 x 2 + x - 1 x

Tranquilo? Está aqui a resposta do item (2)! Vamos para o terceiro?

Passo 4

O item (3) pede para, usando o resultado do item (2), achar a derivada de y ! Então vamos lá! É só derivar a expressão que encontramos ali no fim do passo 3:

y = - 2 x 2 + x - 1 x

Aqui precisamos usar a regra do quociente:

y ' = - 4 x + 1 x - 2 x 2 + x - 1 x 2

y ' = - 4 x 2 + x - 2 x 2 - x + 1 x 2

y ' = - 2 x 2 + 1 x 2

Tudo bem, até aqui?

essa é a resposta para o item (3)! Vamos para o último item?

Passo 5

Agora no item (4) o problema pede para resgatarmos a derivação implícita feita no item (1), – aquela que está em função de y – e com a expressão de y isolado do item (2), substituir na derivação implícita e comparar o resultado com a derivação do item (3).

Do item (1) a gente achou:

y ' = - 4 x + 1 + y x

Do item (2) achamos y isolado:

y = - 2 x 2 + x - 1 x

E substituindo y em y ' temos:

y ' = - 4 x + 1 + - 2 x 2 + x - 1 x x  

Vou multiplicar em cima e embaixo por x :

y ' = - 4 x 2 + x - 2 x 2 - x + 1 x 2

E agora agrupando os termos semelhantes temos a expressão para y ' :

y ' = - 2 x 2 + 1 x 2

Beleza? Agora vamos comparar com o resultado do item (3):

y ' = - 2 x 2 + 1 x 2

É isso aí! Deu certo! Caso você encontre outro resultado, olha com carinho seus outros passos, tá bem?

A ideia desse problema é fazer você perceber que o resultado da derivação é o mesmo, seja derivando logo de cara implicitamente, ou isolando o y e depois derivando.

Beleza?

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

( 1 ) y ' = - 4 x + 1 + y x

( 2 ) y = - 2 x 2 + x - 1 x

( 3 ) y ' = - 2 x 2 + 1 x 2

4 d e m o n s t r a ç ã o

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Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 + y^3 = 1
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub