Usando o teorema da função implícita, encontre d y d x da função a seguir

x ² + y ² = 16

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular a derivada d y d x de

x ² + y ² = 16

Usando o teorema da função implícita, e aí. Lembram como faz? Bora revisar

Geralmente, quando vamos derivar temos algo da forma

y = f ( x )

Ou seja, conseguimos separar y e x para cada lado da igualdade, mas quando não conseguimos fazer isso, como resolvemos a derivação?

A solução é escrever y como função de x da seguinte forma,

y = y ( x )

Dessa forma, quando formos derivar em relação a x Fazemos uso da regra da cadeia. Vai ficar mais claro na questão a seguir,

Passo 2

Vamos começar derivando

x ² + y ² = 16

em relação a x . mas temos que y = y ( x ) . Então,

x ² + y ( x ) ² = 16

derivando, temos:

2 x + d d x y ( x ) ² = 0

Agora, usamos a regra da cadeia.

2 x + 2 y ( x ) * y ' ( x ) = 0

portanto,

y ' ( x ) = x y ( x )

Passo 3

Descobrimos que

y ' ( x ) = x y ( x )

Mas quem é y ( x ) ? Pela equação original, temos que

x ² + y ² = 16

⇒ y ( x ) = ± 16 - x ²

Logo

y ' ( x ) = ± x 16 - x ²

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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