2. Encontre d y / d x por derivação implícita.

  1. x y = 1 + x 2 y

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função implícita (ou seja, y não esta isolado) para derivar. E a questão pede para que derivamos de forma implícita.

Lembrando que quando derivamos implicitamente, derivamos em função de x e em função de y . Porém, os termos obtidos a partir da derivação de y são acompanhados y ' .

Bora aplicar!

Passo 2

Temos a seguinte função,

x y = 1 + x 2 y

Derivando implicitamente ficamos com,

y 2 x y + x 2 x y y ' = 0 + 2 x y + x 2 y '

Lembrando que os termos que tem acompanhado o y ' foram derivados em função de y . Os demais em função de x .

Mas ainda não terminamos a nossa derivada, pois queremos encontrar y ' .

Passo 3

Isolando y ' , ficamos com

x 2 x y y ' - x 2 y ' = - y 2 x y + 2 x y

x 2 x y - x 2 y ' = - y 2 x y + 2 x y

y ' = - y 2 x y + 2 x y x 2 x y - x 2

Ajeitando ficamos com,

y ' = - y + 4 x y x y 2 x y x - 2 x 2 x y 2 x y

Simplificando 2 x y

y ' = - y + 4 x y x y x - 2 x 2 x y

Prontinho!

Resposta

y ' = - y + 4 x y x y x - 2 x 2 x y

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