Suponha que y = f ( x ) é dada implicitamente pela equação y 3 + 2 x y 2 + x = 4 . Suponha que 1 ∈ 𝒟 f .

a ) Calcule f ( 1 ) .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

O enunciado nos deu uma definição implícita de uma função y = f ( x ) , da seguinte forma

y 3 + 2 x y 2 + x = 4

a definição ser implícita tem relação com o fato que não está escrita exatamente no formato de y =   t e r m o s   q u e   d e p e n d e m   d e   x . O enunciado pede para que suponhamos 1 ∈ 𝒟 f e que calculemos f ( 1 ) = f ( x = 1 ) . Para fazer isso precisamos substituir o valor de x desejado e tentar isolar a função y . Vamos lá!

Passo 2

Temos que quando usamos x = 1 na função dada, obtemos

y 3 + 2 y 2 + 1 = 4

Jogando o 4 para o lado esquerdo com sinal negativo (ou subtraindo quatro dos dois lados) temos que

y 3 + 2 y 2 - 3 = 0

Em geral temos que um polinômio de terceiro grau tem 3 raízes. Se soubermos uma raiz podemos utilizar o método de Briot Ruffini para verificar a existência de outras raízes reais. Para podermos descobrir quem é a raiz inicial vamos primeiro identificar os divisores do termo independente do polinômio. Como o nosso termo independente é - 3 , temos que os divisores serão

D = { ± 1 , ± 3 }

Ou seja, quatro possibilidades de chute! O chute y = + 1 já é uma raiz, portanto, não precisamos verificar os outros chutes! Vamos relembrar o método para a redução de ordem! Saca só!

Passo 3

O método para reduzir a ordem do polinômio pode ser resumido com esse procedimento que coloquei na tabelinha abaixo

A raiz conhecida é y = 1 que achamos no passo anterior, o coeficiente do termo cúbico é 1 , o coeficiente do termo quadrático é 2 , o coeficiente linear é 0 e o termo independente é - 3 , então podemos aplicar o procedimento acima para obter

Portanto, nosso novo polinômio pode ser identificado como

y 2 + 3 y + 3 = 0

Se aplicarmos Bhaskara para obter as outras raízes, temos que

y = - 3 ± ( 3 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 3 ) 2 ( 1 ) = - 3 ± 3 i 2

Ou seja, são raízes imaginárias. Portanto, a única solução real para nosso problema é

y = f ( 1 ) = 1

Essa foi a primeira alternativa! Bora para a próxima! Até daqui a pouco!

Resposta

f ( 1 ) = 1

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Exercício de Livro
Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 + y^3 = 1
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub