Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Origem do Exercício

Dada a equação 4 x 2 + 9 y 2 = 1 e d x d t = 3 , calcule d y d t quando x , y = ( 1 2 2 , 1 3 2 )

(a) - 2

(b) 1

(c) 2

(d) - 1

(e) 1 / 2

Passo 1

Aqui precisamos trabalhar bastante com a regra da cadeia! O enunciado diz que x e y dependem de uma outra variável, então vamos começar derivando tudo em relação a t .

4 x 2 + 9 y 2 = 1

d d t 4 x 2 + 9 y 2 = d d t 1

A derivada de 1 (que é uma constante) é zero, e podemos separar a derivada daquela soma:

d d t 4 x 2 + d d t 9 y 2 = 0

Beleza, até aqui nada demais, a questão agora é resolver essas duas derivadas com a regra da cadeia.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pela derivada de 4 x 2 , vamos chamar u = 4 x 2

d d t 4 x 2 = d u d t

Agora, pela regra da cadeia, lembrando que que d x / d t = 3 :

d u d t = d u d x . d x d t = d 4 x 2 d x . d x d t = 8 x d x d t = 24 x

Pense que você tem que penetrar nas camadas da função! Na primeira camada ela só depende de x , mas depois você descobre que o x depende de uma outra variável t . Essa é a lógica da regra da cadeia.

Passo 3

Agora, vamos fazer a derivada de 9 y 2 , seguindo o mesmo procedimento:

d d t 9 y 2 = d u d t

d u d t = d u d y . d y d t = d 9 y 2 d y . d y d t = 18 y . d y d t

Passo 4

Ótimo, agora vamos substituir isso tudo na equação lá de cima:

d d t 4 x 2 + d d t 9 y 2 = 0

24 x + 18 y d y d t = 0

Como nosso objetivo é achar d y d t em x , y = ( 1 2 2 , 1 3 2 ) :

d y d t = - 24 x 18 y = - 4 x 3 y = - 4 2 2 . 3 2 3 = - 2

Resposta

Letra (a).

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