Encontre y ' , se y = y ( x ) é definida implicitamente pela equação dada

x arctan ⁡ y = x 2 + y 2

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa equação aqui

x arctan ⁡ y = x 2 + y 2

E pediu para acharmos y ' , ou seja, precisamos derivar implicitamente!

Mas você lembra como fazer isso?

Quando temos uma equação que é função implícita da variável que queremos derivar precisamos derivar todos os termos, dessa forma vamos encontrar y ' naturalmente. Ele não estará isolado, mas no meio da equação. Assim depois de derivar a função em y (com as regras normais) basta multiplicar por y ' e depois isolar aquele y '

Beleza?

Ah, mas uma coisa, precisamos lembrar qual é a derivada da função arco tangente

arctan ⁡ x ' = 1 x 2 + 1 . x '

Beleza? Se o argumento for y , é só trocar!

Bora começar?

Passo 2

Para achar y ' temos que derivar implicitamente a equação dada, em relação à variável x . Então vamos pôr a mão na massa.

( x . ( arctan ⁡ y ) ) ' = ( x 2 ) ' + ( y 2 ) '

Para o primeiro termo, vamos usar regra do produto:

x ' . arctan ⁡ y + arctan ⁡ y ' . x = 2 x . x ' + 2 y . y '

Substituindo pela derivada do arco tangente:

1 . arctan ⁡ y + 1 1 + y 2 . y ' . x = 2 x . 1 + 2 y . y '

arctan ⁡ y + x y ' 1 + y 2 = 2 x + 2 y . y '

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos passar tudo que possui y ' para o mesmo lado, para podermos isolá-lo.

Do passo anterior

arctan ⁡ y + x y ' 1 + y 2 = 2 x + 2 y . y '

Colocando tudo que tem y ' para a esquerda

x y ' 1 + y 2 - 2 y . y ' = 2 x - arctan ⁡ y

Podemos colocar em evidência e isolar

y ' x 1 + y 2 - 2 y = 2 x - arctan ⁡ y

y ' = 2 x - arctan ⁡ y x 1 + y 2 - 2 y

E ainda fazer algumas simplificações

y ' = 2 x - arctan ⁡ y x - 2 y ( 1 + y 2 ) 1 + y 2

E por fim

y ' = ( 1 + y 2 ) ( 2 x - arctan ⁡ y ) x - 2 y ( 1 + y 2 )

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

y ' = ( 1 + y 2 ) ( 2 x - arctan ⁡ y ) x - 2 y ( 1 + y 2 )

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a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub