3. Suponha que y = y x é uma função que satisfaz a equação

x 2 + x y + y 2 = 3

Encontre uma reta tangente à curva acima num ponto x 0 , y 0 , com x 0 > 0 , e que seja paralela à reta y = 1 - x .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema pede para acharmos a reta tangente a uma curva e, para descobrirmos isso, temos que lembrar que essa reta tangente precisa satisfazer a seguinte equação:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Onde x 0 e y 0 são as coordenadas onde essa reta tagente passa.

Agora, repara também que para acharmos a reta tagente, precisamos da derivada de y no ponto x 0 , ou seja, precisamos achar y ' x 0 .

Então agora vamos achar y ' .

Passo 2

Para acharmos y ' precisaremos derivar implicitamente a função que o enunciado nos deu:

x 2 + x y + y 2 = 3

Agora vamos derivar em função de x , mas lembrando que y = y x

2 x + y + x y ' + 2 y y ' = 0

Ajeitando a equação ficamos com

2 x + y + x + 2 y y ' = 0

Substituindo o ponto x 0 , y 0 , ficamos com

2 x 0 + y 0 + x 0 + 2 y 0 y ' = 0

A gente derivou pra achar y ' . Mas a expressão que achamos inclui y ' x 0 . Atenção, como substituímos o ponto x 0 , y 0 , então o y ' que aparece também é nesse mesmo ponto.

Então agora precisamos encontrar quem é y ' x 0 .

Passo 3

Para encontrar quem é y ' ( x 0 ) temos que nos atentar a uma informação muito importante do enunciado: ele nos diz que a reta tangente é pararela a reta y = 1 - x .

Ou seja, se as retas são paralelas, elas possuem o mesmo coeficiente angular. No caso da reta y = 1 - x , o coeficiente angular é - 1 . Então o coeficiente da nossa reta tangene também é -1. E como isso nos ajuda a achar y ' ( x 0 ) ?

Se lembrarmos que a equação de uma reta qualquer é

y = a x + b

Temos que:

y ' = a

Ou seja, y ' ( x 0 ) é justamente o coeficiente angular da reta tangente! Então temos que:

y ' x 0 = - 1

Substituindo isso na equação que achamos no passo 2, ficamos com:

2 x 0 + y 0 + x 0 + 2 y 0 - 1 = 0

2 x 0 + y 0 - x 0 - 2 y 0 = 0

Logo, temos que

x 0 = y 0

Agora precisamos achar que valor tem x 0 e y 0 .

Para isso, vamos substituir essa informação da equação original!

Passo 4

O problema nos forneceu,

x 2 + x y + y 2 = 3

E já sabemos que

x 0 = y 0

Substituindo na equação, ficamos com

x 0 2 + x 0 x 0 + x 0 2 = 3

3 x 0 2 = 3

x 0 2 = 1

x 0 = ± 1

Como o problema também nos disse que x 0 > 0 , temos x 0 = 1 . Assim que, y 0 = 1 . Substituindo esses valores na equação da reta tangente ficamos com

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

y - 1 = - 1 x - 1

y = - x + 2

Prontinho! Vamos para próxima!

Resposta

y = - x + 2

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub