Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Encontre a reta tangente à curva x 2 y x + 3 y = x 2 + 3 y ² no ponto ( 1 ,   1 ) . Admita que a referida curva define implicitamente y = y ( x ) como função diferenciável de x em algum intervalo aberto contendo 1 e de forma que y 1 = 1 .

Passo 1

Queremos a seguinte reta tangente:

y - y 1 = m ( x - 1 )

O valor de y ( 1 ) o enunciado já deu, então vamos substituí-lo.

y - 1 = m ( x - 1 )

Passo 2

Agora só falta achar o coeficiente angular m , que equivale a achar y ' 1 . Para isso, teremos que derivar implicitamente a curva dada.

2 x . y x + 3 y + x 2 . y ' x + 3 y + x 2 y 1 + 3 y ' = 2 x + 6 y . y '

x 2 . y ' x + 3 y + x 2 y 1 + 3 y ' - 6 y . y ' = 2 x - 2 x . y x + 3 y

Já que queremos a reta tangente em ( 1 ,   1 ) e sabemos que y 1 = 1 podemos fazer as substituições.

1 2 . y ' ( 1 ) 1 + 3 . 1 + 1 2 1 1 + 3 y ' 1 - 6 . 1 . y ' ( 1 ) = 2 . 1 - 2 . 1 . 1 1 + 3 . 1

4 y ' ( 1 ) + 1 + 3 y ' 1 - 6 y ' ( 1 ) = 2 - 2 ( 4 )

y ' 1 = 2 - 8 - 1

y ' 1 = - 7

Passo 3

A reta tangente, portanto, é

y - 1 = - 7 ( x - 1 )

Resposta

y - 1 = - 7 ( x - 1 )

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