1. Em cada item: (1) determine y ' implicitamente, (2) encontre y explicitamente, (3) derive o resultado obtido em (2) para encontrar y ' em termos de x , (4) substitua y encontrado em (2) na expressão encontrada em (1) e verifique que a resposta é consistente com o (3).

d. 2 x - 1 y = 4

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função implícita (ou seja, y não esta isolado) para derivar.

Então bora derivar como pede o item (1)

  2 x - 1 y = 4

Derivando implicitamente, ficamos com

- 2 x 2 + 1 y 2 y ' = 0

Isolando y '

y ' = y 2 2 x 2

y ' = 2 y 2 x 2

Prontinho! Podemos parar por aqui, pois no item (4) vamos substituir y na equação.

Passo 2

Agora no item (2) devemos isolar y na função original. Fica assim,

  2 x - 1 y = 4

- 1 y = 4 - 2 x

1 y = - 4 - 2 x = 2 x - 4

1 y = 2 - 4 x x

Repara que y está no denominador, então temos passa-lo para o numerador,

y = x 2 - 4 x

Agora o próximo passo é derivar!

Passo 3

No item (3), temos que derivar a função encontrada em (2)

y = x 2 - 4 x

Para derivar y , vamos usar a regra do quociente

y ' = x ' 2 - 4 x - x 2 - 4 x ' 2 - 4 x 2

Derivando,

y ' = 1 2 - 4 x - x - 4 2 - 4 x 2

y ' = 2 - 4 x + 4 x 2 - 4 x 2

y ' = 2 2 - 4 x 2

Falta só mais um item!

Passo 4

No item (4), nós temos que substituir a equação encontrada em (2),

y = x 2 - 4 x

Na derivada encontrada em (1)

y ' = 2 y 2 x 2

Ou seja, substituindo y , ficamos com

y ' = - 2 x 2 - 4 x 2 x 2

Simplificando x 2 , ficamos com

y ' = 2 2 - 4 x 2

Opaaa, repara que a derivada encontrada é equivalente a derivada encontrada em (3).

Resposta

No texto.

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