Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Calcule y ' .

ln ⁡ x y + y x = 5

Passo 1

Vamos derivar implicitamente a função dada. Como eu tenho do lado esquerdo uma expressão com x e y dentro do l n não basta só derivar l n não, viu? Temos que fazer uma regra da cadeia:

ln ⁡ x y + y x ' = 5 '

1 x y + y x . x y + y x ' = 0

Ou seja, derivamos de fora pra dentro mantendo o argumento do l n igual. Agora para derivar x y e y x vamos usar a regra do quociente. Para x y vamos ter:

x y ' = x ' y - x   y ' y 2 = y - x   y ' y 2

E para y x vamos ter:

y x ' = y ' x - y   x ' x 2 = y ' x - y x 2

Mas como:

x y + y x ' = x y ' + y x '

Vamos ter então que:

x y + y x ' = y - x   y ' y 2 + y ' x - y x 2

E logo ficamos com

y - x   y ' y 2 + y ' x - y x 2 x y + y x = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só simplificar e isolar o y ' .

y - x   y ' y 2 + y ' x - y x 2 x y + y x = 0

Multiplicando dos dois lados por x y + y x :

y - x   y ' y 2 + y ' x - y x 2 = 0

Colocando tudo no mesmo denominador:

x 2 y - x   y ' x 2 y 2 + y 2 y ' x - y x 2 y 2 = 0

Multiplicando os dois lados por x 2 y 2 :

x 2 y - x   y ' + y 2 y ' x - y = 0

Agora é só fazer a distributiva e ir simplificando pra fechar a questão e partir pro abraço

x 2 y - x 3 y ' + y 2 y ' x - y 3 = 0

y ' y 2 x - x 3 + x 2 y - y 3 = 0

y ' y 2 x - x 3 = y 3 - x 2 y

y ' = y 3 - x 2 y y 2 x - x 3

y ' = y y 2 - x 2 x y 2 - x 2

y ' = y x

Resposta

y ' = y x

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