Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Origem do Exercício

Aplicando os conceitos da primeira e segunda derivadas. Qual o gráfico da função definida em R por f x = x 3 - 3 x ?

(a)

Passo 1

Beleza, o primeiro passo para identificar gráficos de funções (quase sempre) é ver os pontos em que os gráficos cruzam os eixos, porque são os mais fáceis de verificar.

A função f x = x 3 - 3 x não tem uma constante, então não deve cruzar o eixo y . De fato, nenhum dos gráficos cruza o eixo, então isso não ajuda por enquanto.

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Passo 2

Agora vamos pensar nos pontos onde ela cruza o eixo x (ou seja, as raízes do polinômio). Esses pontos vão atender essa equação aqui:

x 3 - 3 x = 0

Vamos arrumar um pouco isso:

x x 2 - 3 = 0

Beleza, tem duas formas de isso dar certo:

x = 0

x 2 - 3 = 0

A primeira raiz é x = 0 , e precisamos resolver essa equação do 2° grau para achar a outra:

x 2 = 3

x = ± 3

Beleza, então temos três raízes, ou seja, nosso gráfico tem que cruzar o eixo x em três pontos. Com isso já podemos eliminar a terceira e a quarta opção.

Como 3 ≅ 1,7 , só olhando a escala dos eixos, já dá pra perceber que a opção correta é o último gráfico, mas vamos continuar para demonstrar como usar derivadas para resolver o problema.

Passo 3

Se procurarmos os pontos com derivada nula:

f x = x 3 - 3 x

f ' x = 3 x 2 - 3 = 0

3 x 2 = 3

x 2 = 1

x = ± 1

Ou seja, nos pontos em que x = ± 1 , a nossa função tem máximos ou mínimos locais. Vamos substiuir os pontos na função:

f 1 = 1 3 - 3 1 = - 2

f - 1 = - 1 3 - 3 - 1 = 2

Então o gráfico que estamos procurando tem extremos nos pontos ( 1 , - 2 ) e ( - 1,2 ) , que é exatamente o que vemos no último gráfico!

Resposta

Letra (e).

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