Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo, assíntotas verticais. Note que as derivadas já estão dadas.

a )   f x = 16 - x 2 4 x - 2 2 ,   f ' x = x - 8 x - 2 3 ,   f ' ' x = 2 ( 11 - x ) x - 2 4

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = 16 - x 2 4 x - 2 2

Mas não só a função f ( x ) , o problema deu também a derivada primeira e segunda:

f ' x = x - 8 x - 2 3 ,   f ' ' x = 2 11 - x x - 2 4

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero
  • Anota aí!

    e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

    Vamos começar?

    Passo 2

    Nossa função é

    f x = 16 - x 2 4 x - 2 2

    No nosso caso quando substituímos x = 2 vemos que o denominador vai a zero, então aqui é um candidato à assíntota vertical! Se calcularmos o limite da função tendendo a esse ponto e encontrarmos ± ∞ , isso significa que temos uma assíntota! Então bora calcular esse limite!

    lim x → 2 ⁡ 16 - x 2 4 x - 2 2 = 1 2 0 = ∞

    Encontramos um resultado do tipo infinito! Então aqui temos x = 2 como assíntota vertical!

    Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada f ' ( x )

    f ' x = x - 8 x - 2 3

    Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

    f ' x = 0

    x - 8 x - 2 3 = 0 → x - 8 = 0 → x = 8

    Aqui precisamos incluir o ponto x = 2 como crítico, embora ele não apareça explicitamente. Isso porque é um ponto de descontinuidade da derivada, beleza?

    Achamos dois pontos críticos candidatos a máximo ou mínimo: x = 2 e x = 8 .

    Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades

  1. De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
  2. Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local

Então vamos ver em torno de x = 2 :

  • Para x < 2 :
  • x - 8 x - 2 3 > 0

    Pois o termo x - 8 < 0 e o denominador é negativo também. Assim antes de 2 a derivada assume valores positivos

  • Para 2 < x < 8 :
  • x - 8 x - 2 3 < 0

    Pois o termo x - 8 < 0 e o denominador é positivo, assim a derivada assume valores negativos.

  • Para x > 8 :
  • x - 8 x - 2 3 > 0

    Assim em torno de x = 8 a derivada trocou de sinal: de negativo para positivo, então

    x = 8 : m í n i m o   l o c a l

    Beleza?

    Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!

    Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso

    c r e s c e n t e : ( - ∞ , 2 ) U ( 8 , + ∞ )

    E decrescente onde ela é negativa:

    d e c r e s c e n t e : ( 2,8 )

    Tudo bem até aqui?

    Bora para a análise da derivada segunda!

    Passo 2

    Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

    A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

    1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
    2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

    Beleza? Vamos resgatar a derivada segunda lá do passo 1:

    f ' ' x = 2 11 - x x - 2 4

    Igualando a zero temos:

    2 11 - x x - 2 4 = 0

    Aqui precisamos incluir novamente o x = 0 , temos nosso primeiro ponto de inflexão. E agora temos

    11 - x = 0

    x = 11

    Assim temos um ponto de inflexão: x = 11

    Agora vamos analisar em torno desse ponto

    f ' ' x = 2 11 - x x - 2 4

  • Antes de x = 11 , o numerador é positivo; o denominador também, assim nesse intervalo a derivada é positiva
  • Depois de x = 11 , o numerador passa a assumir valores negativos, mas o denominador segue com valores positivos. Assim a derivada nesse intervalo é negativa
  • Em resumo temos

    c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ , 2 U 2 , 11

    c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ( 11 , ∞ )

    Obs.: precisamos ‘quebrar’ o intervalo de concavidade positiva porque o elemento x = 2 não pertence ao domínio da função!

    E é isso! Espero ter ajudado!

    Resposta

    x = 2 ,   x = 8 : p o n t o s   c r í t i c o s

    x = 8   m í n i m o   l o c a l

    c r e s c e n t e : ( - ∞ , 2 ) U ( 8 , + ∞ )

    d e c r e s c e n t e : ( 2,8 )

    p o n t o s   d e   i n f l e x ã o : x = 11

    c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ ,   - 2 U 2 , 11

    c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : 11 , ∞

    a s s í n t o t a   v e r t i c a l : x = 2

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