Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo, assíntotas verticais. Note que as derivadas já estão dadas.

c )   f x = 3 4 x 3 ( x - 4 ) ,   f ' x = x - 1 x 2 3 ,   f ' ' x = 1 3 ( x + 2 ) x 5 3

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = 3 4 x 3 ( x - 4 )

Mas não só a função f ( x ) , o problema deu também a derivada primeira e segunda:

f ' x = x - 1 x 2 3 ,   f ' ' x = 1 3 ( x + 2 ) x 5 3

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero
  • Anota aí!

    e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

    Vamos começar?

    Passo 2

    Nossa função é

    f x = 3 4 x 3 ( x - 4 )

    Da função só podemos analisar quanto à existência de assíntotas verticais

    No nosso caso não existe x capaz de gerar uma indeterminação, então essa função não tem assíntotas verticais, beleza? Agora vamos passar para a análise da derivada!

    Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada f ' ( x )

    f ' x = x - 1 x 2 3

    Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

    f ' x = 0

    x - 1 x 2 3 = 0

    Aqui precisamos incluir o ponto x = 0 como crítico, embora ele não apareça explicitamente. Ele não será ponto de máximo nem mínimo (a função em torno de 0 não troca de sinal), fica tranquilo!

    Agora passando x 2 3 para o outro lado temos

    x - 1 = 0 → x = 1

    Achamos apenas um ponto crítico candidato a máximo ou mínimo: x = 1 . Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desse ponto. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades

  1. De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
  2. Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local

Então vamos ver em torno de x = 1 :

  • Para x < 1 :
  • x - 1 x 2 3 < 0

    Pois o termo x - 1 < 0 e o denominador é sempre positivo.

  • Para x > 1 :
  • x - 1 x 2 3 > 0

    Pois o termo x - 1 > 0 e o denominador é sempre positivo. Então tem troca de sinal: de negativo para positivo:

    x = 1 : m í n i m o   l o c a l

    Beleza?

    Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!

    Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso

    c r e s c e n t e : ( 1 , ∞ )

    E decrescente onde ela é negativa:

    d e c r e s c e n t e : ( - ∞ , 1 )

    Tudo bem até aqui?

    Bora para a análise da derivada segunda!

    Passo 2

    Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

    A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

    1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
    2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

    Beleza? Vamos resgatar a derivada segunda lá do passo 1:

    f ' ' x = 1 3 ( x + 2 ) x 5 3

    Igualando a zero temos:

    1 3 ( x + 2 ) x 5 3 = 0

    Aqui precisamos incluir novamente o x = 0 , temos nosso primeiro ponto de inflexão. E agora temos

    x + 2 = 0

    x = - 2

    Assim temos dois pontos de inflexão: x = 0 e x = - 2

    Agora vamos analisar em torno desses dois pontos. Começando em torno de x = - 2 :

    f ' ' x = 1 3 ( x + 2 ) x 5 3

  • Antes de - 2 , tanto o numerador quanto o denominador são negativos, portanto a derivada segunda assume valores positivos. Assim antes de - 2 a função é côncava para cima
  • Entre - 2 e 0 o numerador é positivo, já o denominador segue sendo negativo. Isso nos dá um sinal negativo para a segunda derivada: significa que nesse intervalo a função é côncava para baixo
  • E por fim depois de 0 tanto numerador quanto denominador assumem valores positivos. Então aqui temos que a função é côncava para cima
  • Em resumo temos

    c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ , - 2 U 0 , ∞

    c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ( - 2,0 )

    E é isso! Espero ter ajudado!

    Resposta

    x = 0 ,   x = 1 : p o n t o s   c r í t i c o s

    x = 1   m í n i m o   l o c a l

    c r e s c e n t e   1 , ∞

    d e c r e s c e n t e   - ∞ , 1

    c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ ,   - 2 U 0 , + ∞

    c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ( - 2,0 )

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