Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

a )   f x = - 2 x 3 - 3 x 2 + 12 x + 4

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = - 2 x 3 - 3 x 2 + 12 x + 4

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando x → ± ∞

Anota aí!

E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = - 2 x 3 - 3 x 2 + 12 x + 4

Existir assíntota vertical depende de termos uma descontinuidade da função. Mas nesse caso temos um polinômio que é bem-comportado! Sendo assim não temos assíntotas verticais

Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando x → ± ∞ , beleza? Vamos começar com x → + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ - 2 x 3 - 3 x 2 + 12 x + 4 = - ∞

Como não encontramos nenhum número, a função não tem assíntota horizontal olhando para x positivo, e a função explode para - ∞ .

Agora vamos ver para x → - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ - 2 x 3 - 3 x 2 + 12 x + 4 = + ∞

Olhando para x negativo vemos que também não temos assíntota, e a função explode para + ∞

Então é isso: não temos nem assíntotas verticais, nem horizontais bora analisar a derivada primeira?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada f ' ( x ) :

f x = - 2 x 3 - 3 x 2 + 12 x + 4

f ' x = - 6 x 2 - 6 x + 12

Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

f ' x = 0

- 6 x 2 - 6 x + 12 = 0

x 2 + x - 2 = 0

x = - ( 1 ) ± ( 1 ) 2 - 4 ( 1 ) ( - 2 ) 2 ( 1 ) = - 1 ± 3 2

Aqui temos duas soluções:

x = 1   ; x = - 2

Tudo bem até aqui?

Achamos dois pontos críticos candidatos a máximo ou mínimo: x = 1 e x = - 2 . Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades

  1. De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
  2. Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local

A ideia é testar na derivada um valor antes e um valor depois de cada ponto para saber o sinal que f ' assume

Analisando x = - 5 ,   0 e x = 5 :

f ' - 5 < 0

f ' 0 > 0

f ' 5 < 0

Assim podemos classificar os pontos críticos

x = - 2 : m í n i m o   l o c a l

x = 1 : m á x i m o   l o c a l

Beleza?

Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!

Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso

c r e s c e n t e : ( - 2 , 1 )

E decrescente onde ela é negativa:

d e c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 2 ) U ( 1 ; + ∞ )

Tudo bem até aqui?

Bora para a análise da derivada segunda!

Passo 4

Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

  1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
  2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

Beleza?

Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:

f ' x = - 6 x 2 - 6 x + 12

E derivar novamente

f ' ' x = - 12 x - 6

Igualando a zero temos:

- 12 x - 6 = 0 → x = - 1 2

Assim temos um ponto de inflexão: x = - 1 2 e

Agora vamos analisar o sinal da derivada segunda em torno desse ponto.

Em resumo temos

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ , - 1 2

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - 1 2 , + ∞

Beleza? Estamos quase lá!

Passo 5

Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!

  • f x = - 2 x 3 - 3 x 2 + 12 x + 4
  • f 0 = 4
  • x = - 2 : m í n i m o   l o c a l
  • x = 1 : m á x i m o   l o c a l
  • - 2,1 : c r e s c e n t e
  • - ∞ ,   - 2 U 1 , + ∞ : d e c r e s c e n t e
  • x = - 1 2 p o n t o   d e   i n f l e x ã o
  • - ∞ , - 1 2 : c ô n c a v a   p a r a   c i m a
  • - 1 2 , + ∞ : c ô n c a v a   p a r a   c i m a
  • s e m   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s   o u   h o r i z o n t a i s
  • Comportamento no infinito: lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞ ; lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞

E nosso gráfico ficou assim:

Ufa terminamos!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

x = - 2 ,   x = 1 : p o n t o s   c r í t i c o s

x = - 2 : m í n i m o   l o c a l

x = 1 : m á x i m o   l o c a l

- 2,1 : c r e s c e n t e

- ∞ ,   - 2 U 1 , + ∞ : d e c r e s c e n t e

x = - 1 2 p o n t o   d e   i n f l e x ã o

- ∞ , - 1 2 : c ô n c a v a   p a r a   c i m a

- 1 2 , + ∞ : c ô n c a v a   p a r a   c i m a

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