Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

k )   f x = x + s e n   x ,   x ∈ ( 0,2 π )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = x + s e n   x

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando x → ± ∞

Anota aí!

E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = x + s e n   x

Existir assíntota vertical depende de termos uma descontinuidade da função. Mas a função seno é super bem-comportada, assim como o monômio x . Então aqui não temos descontinuidade e nem assíntota vertical!

tranquilo?

Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando x → ± ∞ , beleza? Vamos começar com x → + ∞  

lim x → + ∞ ⁡ x + s e n   x = ∞

A função seno é limitada, mas o x não. Então quando x → + ∞     a função explode, assim, aqui não temos uma assíntota horizontal. Fazendo de forma análoga, vamos encontrar - ∞ também quando x → - ∞ , então não temos assíntotas horizontais

bora analisar a derivada primeira?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada f ' ( x ) :

f x = x + s e n   x

f ' x = 1 + cos ⁡ x

Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

f ' x = 0

cos ⁡ x = - 1

Achamos um ponto crítico!

x = π

E apenas um! Pois nosso domínio é limitado a ( 0,2 π ) !

Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades

  1. De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
  2. Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local

A ideia é testar na derivada um valor antes e um valor depois de cada ponto para saber o sinal que f ' assume

x = π o cosseno é negativo e pouco maior do que - 1 , o que deixa f ' > 0 . Mas e depois? Depois ele retorna a dar valores negativos maior do que - 1 , então a derivada não troca de sinal!

Temos aqui um ponto crítico que não é nem máximo nem mínimo local!

Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!

Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso

c r e s c e n t e : ( 0,2 π )

E decrescente onde ela é negativa:

d e c r e s c e n t e : n u n c a

Tudo bem até aqui?

Bora para a análise da derivada segunda!

Passo 4

Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

  1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
  2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

Beleza?

Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:

f ' x = 1 + cos ⁡ x

E derivar novamente

f ' ' x = - s e n   x

Igualando a zero temos:

- s e n = 0

E assim temos uma solução:

x = π  

Obs.: O domínio da nossa função é ( 0,2 π ) , por isso que apenas o ponto x = π conta para inflexão!

Assim esse é nosso único ponto de inflexão!

Agora vamos analisar o sinal da derivada segunda em torno desse ponto!

Em resumo temos

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : ( π , 2 π )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : 0 , π

Beleza? Estamos quase lá!

Passo 5

Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!

  • f x = x + s e n   x
  • f 0 : 0
  • p o n t o s   c r í t i c o s : x = π   ( n ã o   é   e x t r e m o   l o c a l )
  • c r e s c e n t e : ( 0 , 2 π ) ; d e c r e s c e n t e : n u n c a
  • x = π : p o n t o   d e   i n f l e x ã o
  • c ô n c a v a   p a r a   c i m a : π , 2 π
  • c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : 0 , π
  • s e m   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s   e   v e r t i c a i s  

E nosso gráfico ficou assim:

Ufa terminamos!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

p o n t o s   c r í t i c o s : x = π   ( n ã o   é   e x t r e m o   l o c a l )

c r e s c e n t e : ( 0,2 π ) ; d e c r e s c e n t e : n u n c a

x = π : p o n t o   d e   i n f l e x ã o

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : π , 2 π

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : 0 , π

s e m   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s   e   v e r t i c a i s  

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