Conforme ilustra a figura abaixo, as áreas dos retângulos inscritos na circunferência x 2 + y 2 = 16 podemos ser calculadas por meio da função A ( x ) = 4 x 16 - x 2 , com x ∈ 0,4

  1. Calcule os pontos críticos da função A x no intervalo 0,4
  2. Determine os intervalos de crescimento e os de decrescimento da função A x
  3. Determine os intervalos em que a concavidade do gráfico de A x é voltada para baixo e os intervalo em que a concavidade é voltada para cima
  4. Esboce o gráfico de A ( x )

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

Temos os retângulos inscritos na nossa circunferência, e queremos saber algumas coisas sobre ele, quando é nos dado a sua função da área. Veja como é:

E se nos perguntarmos em que ponto de x a função é máxima. Ou a partir de que ponto ela cresce ou decresce? São essas duvidas que a questão nos pede para resolver.

Vamos lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para a)

Para a)

Um ponto critico é quando a derivada d função é nula. Por que nula? Porque é quando ela alcança o máximo ou o mínimo. Veja:

Assim, façamos a derivada:

A ' x = d d x 4 x 16 - x 2

Veja que aqui nós temos uma função composta, então assim temos que derivar pela regra da cadeia, ou seja d d x f x = f ' x * x ' ,assim:

A ' x = 4 d d x x 16 - x 2 + d d x 16 - x 2   x

A ' x = 4 16 - x 2 + - 1 2 2 x x 16 - x 2

Assim:

A ' x = 4 16 - x 2 - x 2 16 - x 2

Podemos deixar tudo sobre 16 - x 2 :

A ' x = 4 16 - 2 x 2 16 - x 2

Agora como dito, temos que igualando a 0:

16 - 2 x 2 = 0 → x = ± 8

Como x > 0 então:

A ' x = 0 → x = 8

Passo 3

Para b)

Intervalos de decrescimento são intervalo onde a função cresce ou decresce, de forma que podemos saber a partir de qual ponto ela cresce ou decresce. Para isso, basta substituirmos o ponto que achamos quando igualamos a nossa derivada da função a 0 na própria derivada da função.

“Mas por que, Mogli?” pois se a derivada da função é 0 naquele ponto, em outras palavras ela é reta horizontal, significa dizer que antes dela e depois dela a função cresce e decresce, como na imagem anterior que demos:

Repetindo a derivada:

A ' x = 4 16 - 2 x 2 16 - x 2

E quando igualamos a 0, obtivemos: x = 8 .Para sabermos de fato se a função cresce ou decresce naquele ponto, basta pegarmos quaisquer pontos nesse intervalo, se ela é maior que 0 significa que ela está crescendo, isso é chamado de varal de crescimento e decrescimento, e é dessa forma:

Escolhamos o ponto x = 4 para o intervalo 0 , 8 e o ponto x = 3 para o intervalo 8 , 4 . Ficando assim o varal:

Agora basta analisarmos o intervalo e verificar se é positivo ou negativo. Assim:

A ' 4 = 4 16 - 2 4 2 16 - 4 2 = 4 16 - 2 * 2 2 16 - 2 2

Mas veja que 16 - 2 * 2 2 > 0 , de modo que:

A ' 4 = 4 16 - 2 4 2 16 - 4 2 > 0

  Assim a função cresce no intervalo 0 , 8 .

Para o outro intervalo:

A ' 9 = 4 16 - 2 9 2 16 - 9 2 = 4 16 - 2 * 3 2 16 - 3 2

Mas veja que 16 - 2 * 3 2 < 0 , de modo que:

A ' 9 = 4 16 - 2 9 2 16 - 9 2 < 0

  Assim a função decresce no intervalo 8 , 4 .

Resumindo:

c r e s c e   n o   i n t e r v a l o   0 , 8   e   d e c r e s c e   e m   8 ,   4

Passo 4

Para c)

Para a determinação do intervalo de concavidade de uma função devemos pegar a segunda derivada igualar a 0 e verificar se ela é positiva ou negativa. Para melhor visualização, veja essa imagem:

Ficou mais claro, né carinha?!

É parecido com o item anterior, não é?!

Sendo assim, derivemos a nossa função derivada de A ( x ) ou seja:

A ' ' x = d d x 4 16 - 2 x 2 16 - x 2

Como nós temos uma função de x em cima de uma outra função de x, devemos aplicar a regra do quociente, que é:

f g ' = f ' g - g ' f g 2

Chamemos então f = 4 16 - 2 x 2 e g = 16 - x 2

Assim:

4 16 - 2 x 2 16 - x 2 ' = 4 d d x 16 - x 2 16 - x 2 - d d x 16 - x 2 4 16 - 2 x 2   16 - x 2 2

Como temos uma função então assim temos que derivar pela regra da cadeia, ou seja d d x f x = f ' x * x ' ,assim:

A ' ' x = 4 ( - 4 x 16 - x 2 + x 16 - x 2   4 16 - 2 x 2   16 - x 2 2

Podemos deixar ( - 4 x 16 - x 2 + x 16 - x 2   4 16 - 2 x 2   mais bonito, não?! Deixando tudo sobre 16 - x 2 , então:

( - 4 x 16 - x 2 + x 16 - x 2   4 16 - 2 x 2   = 2 x 3 - 48 x 16 - x 2

Assim temos ao final:

A ' ' x = 4 2 x 3 - 48 x ( 16 - x 2 )   16 - x 2 2

Igualando a 0:

2 x 3 - 48 x = 0 → x 2 = 24

Considerando x > 0 :

A ' ' x = 0 → x = 24

Mas veja que 24 > 4 e 4 é o limite que queremos, assim se a função é positiva ou negativa nesse ponto implica que a concavidade dela é inteiramente para cima ou para baixo, certo?!

Como não existe a função para 24 , podemos pegar um ponto menor onde a função existe. Já que para qualquer ponto nela vai definir o seu todo. Seja x = 9

Assim:

A ' ' ( 9 ) = 4 2 9 - 48 9 16 - 9 2 )   16 - 9 2 2

Mas veja que 4 2 9 - 48 9 < 0 assim a função é toda negativa no intervalo ( 0,4 ) o que implica nesse caso que a concavidade é para baixo no intervalo ( 0,4 )

Resumindo:

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   ( 0,4 )

Passo 5

Para d)

Kkkk sem queremos demos isso no passo 1 quando deduzimos o que que a questão pedia.

Mas fina que não demos hashushua

Sendo assim, considerando os itens acimas, com concavidade para baixo, ponto critico no ponto x = 8 , obtemos um gráfico nessa pegada:

Obrigado por ter vindo até aqui, jovem mancebo. Até a próxima 😊

Resposta

Para a)

x = 8

Para b)

c r e s c e   n o   i n t e r v a l o   0 , 8   e   d e c r e s c e   e m   8 ,   4

Para c)

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   ( 0,4 )

Para d)

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