Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Considere f x = x 3 + 3 x 2 + 1                                           ,       s e   x < 0 e - x 2                                                                           ,       s e   x ≥ 0 :

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Esboce o gráfico da função.

Passo 1

( a ) Para descobrir se a função é contínua no x = 0 temos que calcular os limites laterais pelos dois lados e ver se eles são iguais. Como vemos, a função é uma em x < 0 e outra em x ≥ 0 :

lim x → 0 - ⁡ x 3 + 3 x 2 + 1 = 0 3 + 3 0 2 + 1 = 1

lim x → 0 + ⁡ e - x 2 = e 0 = 1

Ora, os limites laterais batem, então a função é contínua em   x = 0 .

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Passo 2

Já para ver se a função é derivável aplicamos o limite da definição da derivada e vemos se lateralmente os limites batem. A definição é essa aqui:

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ f x - e 0 x

= lim x → 0 ⁡ f x - 1 x

Vamos ver se os limites laterais desse termo batem, começando calculando x → 0 + :

lim x → 0 + ⁡ f x - 1 x = lim x → 0 + ⁡ e - x 2 - 1 x = 0 0

Para fugir da indeterminação usamos L’Hospital:

lim x → 0 + ⁡ e - x 2 - 1 x = lim x → 0 + ⁡ - x 2 ' e - x 2 x '

= lim x → 0 + ⁡ - 2 x e - x 2 1 = - 2 0 e 0 = 0

Vamos fazer agora para x → 0 - :

lim x → 0 + ⁡ f x - 1 x = lim x → 0 + ⁡ x 3 + 3 x 2 + 1 - 1 x

= lim x → 0 + ⁡ x 3 + 3 x 2 x = lim x → 0 + ⁡ x 2 + 3 x

= 0 2 + 3 0

= 0

Como vemos, os limites laterais da definição da derivada bateram, o que significa que f x é derivável em x = 0 .

Passo 3

( b ) Vamos calcular os dois limites pedidos:

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ e - x 2

= e - ∞ = 0

O outro limite agora:

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 3 x 2 + 1

lim x → - ∞ ⁡ x 3 1 - 3 x + 1 x 3 = - ∞

Pelos cálculos dos limites notamos que há uma assíntota vertical: y = 0 . Como não temos descontinuidades na função nós não temos assíntotas verticais.

Passo 4

( c ) Vamos derivar a função f x :

f x = x 3 + 3 x 2 + 1                                           ,       s e   x < 0 e - x 2                                                                           ,       s e   x ≥ 0

f ' x = x 3 ' + 3 x 2 ' + 1 '                                           ,       s e   x < 0 e - x 2 '                                                                                               ,       s e   x ≥ 0

f ' x = 3 x 2 + 6 x                                       ,       s e   x < 0 e - x 2 - 2 x                                 ,       s e   x ≥ 0

Na região de x < 0 temos que f ' x = 3 x 2 + 6 x = 3 x ( x + 2 ) , que é um termo que é negativo quando está entre suas raízes, - 2 e 0 . No resto do espaço, a parábola tem valor positivo. Há ponto crítico onde ela vale 0 , que é x = - 2 . Já no domínio de x ≥ 0 temos que o termo e - x 2 - 2 x será negativo, já que e - x 2 é positivo sempre e o - 2 x negativo, para x > 0 . Há, porém, um ponto onde essa derivada será nula, justamente onde x = 0 (chegamos a concluir isso pela definição da derivada, no Passo 2 ).

Conclui-se, há dois pontos críticos, um em x = - 2 e outro em x = 0 .

P o n t o   c r í t i c o : x = - 2   ; x = 0

Passo 5

( d - e ) Para analisar o crescimento e decrescimento da função nós devemos observar o sinal da derivada. Como visto no Passo 4, a derivada será positiva para todo x < - 2 sendo nula só em x = 0 e x = - 2 e sendo positiva para os outros valores de x . Ou seja, a função é sempre crescente, não havendo região de decrescimento, com o detalhe da derivada ser nula em x = 0 :

C r e s c e n t e :   ] - ∞ , - 2     ;   D e c r e s c e n t e :   - 2,0 [   ∪   ] 0 , ∞ [

Passo 6

( f - g ) O ponto crítico é x = 0 tem derivada negativa antes e depois desse ponto, o que não configura nem máximo nem mínimo local. Nós vemos também x = - 2 tem derivada positiva antes e negativa depois, sendo um ponto de máximo.

N ã o   h á   m í n i m o   l o c a l   ;   x = - 2   é   m á x i m o   l o c a l

Passo 7

h - i Vamos calcular f ' ' x e analisar seu sinal para descobrir quais são suas regiões de crescimento e decrescimento:

f ' ' x = 3 x 2 + 6 x '                                         ,       s e   x < 0 e - x 2 - 2 x '                                 ,       s e   x ≥ 0

f ' ' x = 3 x 2 + 6 x '                                                                                                       ,       s e   x < 0 e - x 2 ' - 2 x + e - x 2 - 2 x '                                 ,       s e   x ≥ 0

f ' ' x = 6 x + 6                                                                                                                               ,       s e   x < 0 e - x 2 - 2 x - 2 x + e - x 2 ( - 2 )                               ,       s e   x ≥ 0

f ' ' x = 6 ( x + 1 )                                                                 ,       s e   x < 0 2 e - x 2 ( 2 x 2 - 1 )                                     ,       s e   x ≥ 0

Vemos que onde x < 0 a concavidade é para baixo quando x < - 1 e para cima onde ] - 1,0 [ . Já na região onde x ≥ 0 vemos que o sinal só depende de do 2 x 2 - 1 , uma parábola com boca para cima que é negativa entre suas raízes e positiva no resto do domínio. Procurando suas raízes:

2 x 2 = 1

x = ± 1 2

Assim, como essa derivada só é válida para x ≥ 0 , vemos que sua concavidade será positiva para x > 1 2 e negativa para 0 < x < 1 2 . Em resumo, temos:

C ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ] - ∞ , - 1 [     ∪ [ 0 , 1 2   ;   C ô n c a v a   p a r a   c i m a : - 1,0   ∪   1 2 , ∞ [

Passo 8

( j ) Os únicos pontos em que a f ' ' x é nula são em x = - 1 e x = 1 2 e temos em x = 0 uma mudança de concavidade súbita, por mais que não seja nula a derivada segunda.

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o : x = 0   ; x = - 1   ; x = 1 2

Passo 9

k Vamos reunir todas as informações para fazer o nosso esboço:

- a   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   e   d e r i v á v e l   e m   x = 0

- lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = 0   ; lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞

- A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l : y = 0   ; A s s í n t o t a   v e r t i c a l :   -

- P o n t o   c r í t i c o : x = 0   ; x = - 2  

- N ã o   h á   m í n i m o   l o c a l   ; x = - 2   é   m á x i m o   l o c a l

- C r e s c e n t e :   ] - ∞ , - 2     ;   D e c r e s c e n t e :   - 2,0 [   ∪   ] 0 , ∞ [

- C ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ] - ∞ , - 1 [     ∪ [ 0 , 1 2   ;   C ô n c a v a   p a r a   c i m a : - 1,0   ∪   1 2 , ∞ [

- P o n t o s   d e   i n f l e x ã o : x = 0   ; x = - 1   ; x = 1 2

Vamos fazer o esboço:

Resposta

a   a   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   e   d e r i v á v e l   e m   x = 0

b   lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = 0   ; lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞

c   P o n t o   c r í t i c o : x = 0   ; x = - 2    

d , e   C r e s c e n t e :   ] - ∞ , - 2     ;   D e c r e s c e n t e :   - 2,0 [   ∪   ] 0 , ∞ [

f , g   N ã o   h á   m í n i m o   l o c a l   ; x = - 2   é   m á x i m o   l o c a l

h , i   C ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ] - ∞ , - 1 [     ∪ [ 0 , 1 2   ;   C ô n c a v a   p a r a   c i m a : - 1,0   ∪   1 2 , ∞ [

j   P o n t o s   d e   i n f l e x ã o : x = 0   ; x = - 1   ; x = 1 2

k   f i g u r a   a c i m a

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