Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Considere f x = 1 1 + x 2                       ,       s e   x < 0 e x 2 - 2 x               ,       s e   x ≥ 0 :

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Utilizando as informações obtidas abaixo nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

Passo 1

( a ) Para descobrir se a função é contínua no x = 0 temos que calcular os limites laterais pelos dois lados e ver se eles são iguais. Como vemos, a função é uma em x < 0 e outra em x ≥ 0 :

lim x → 0 - ⁡ 1 1 + x 2 = 1 1 + 0 = 1

lim x → 0 + ⁡ e x 2 - 2 x = e 0 = 1

Ora, os limites laterais batem, então a função é contínua em   x = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já para ver se a função é derivável aplicamos o limite da definição da derivada e vemos se lateralmente os limites batem. A definição é essa aqui:

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ f x - e 0 x

= lim x → 0 ⁡ f x - 1 x

Vamos ver se os limites laterais desse termo batem, começando calculando x → 0 + :

lim x → 0 + ⁡ f x - 1 x = lim x → 0 + ⁡ e x 2 - 2 x - 1 x = 0 0

Para fugir da indeterminação usamos L’Hospital:

lim x → 0 + ⁡ e x 2 - 2 x - 1 x = lim x → 0 + ⁡ x 2 - 2 x ' e x 2 - 2 x x '

= lim x → 0 + ⁡ 2 x - 2 e x 2 - 2 x 1 = 2 0 - 2 e 0 = - 2

Vamos fazer agora para x → 0 - :

lim x → 0 - ⁡ f x - 1 x = lim x → 0 - ⁡ 1 1 + x 2 - 1 x = lim x → 0 - ⁡ 1 - 1 + x 2 1 + x 2 x

= lim x → 0 - ⁡ - x 2 1 + x 2 x = lim x → 0 - ⁡ - x 1 + x 2 = 0 1 + 0

= 0

Como vemos, os limites laterais da definição da derivada não bateram, o que significa que f x não é derivável em x = 0 .

Passo 3

( b ) Vamos calcular os dois limites pedidos:

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ e x 2 - 2 x

= e ∞ = ∞

O outro limite agora:

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 1 1 + x 2

1 1 + ∞ = 0

Pelos cálculos dos limites notamos que há uma assíntota vertical: y = 0 . Como não temos descontinuidades na função nós não temos assíntotas verticais.

Passo 4

( c ) Vamos derivar a função f x :

f x = 1 1 + x 2                       ,       s e   x < 0 e x 2 - 2 x               ,       s e   x ≥ 0

f ' x = 1 + x 2 - 1 '                       ,       s e   x < 0 e x 2 - 2 x '                                     ,       s e   x ≥ 0

f ' x = - 1 1 + x 2 ' 1 + x 2 - 2                     ,       s e   x < 0 e x 2 - 2 x x 2 - 2 x '                                                   ,       s e   x ≥ 0

f ' x = - 2 x 1 + x 2 2                                           ,       s e   x < 0 2 e x 2 - 2 x x - 1                                                   ,       s e   x ≥ 0

Na região de x < 0 temos que f ' x = - 2 x 1 + x 2 2 , que tem seu denominador sempre positivo e numerador também positivo nessa mesma região, onde x < 0 , sendo que essa derivada seria nula em x = 0 , mas isso nada vale já que esse ponto não está definido para essa derivada. Não existem pontos críticos nessa região.

No resto do espaço, 2 e x 2 - 2 x x - 1 é um produto entre uma exponencial (sempre positiva) e o x - 1 , positivo para x > 1 e negativo quando 0 ≤ x < 1 . Há ponto crítico onde ela vale 0 , que é x = 1

Conclui-se, há um ponto crítico, em x = 1 .

P o n t o   c r í t i c o : x = 1

Passo 5

( d - e ) Para analisar o crescimento e decrescimento da função nós devemos observar o sinal da derivada. Como visto no Passo 4 , a derivada será positiva para todo x < 0 e x > 1 sendo nula só em x = 1 e sendo positiva para 0 ≤ x < 1 . Ou seja, a função é sempre crescente, não havendo região de decrescimento, com o detalhe da derivada ser nula em x = 1 :

D e c r e s c e n t e : [ 0,1     ;     C r e s c e n t e : - ∞ , 0   ∪   1 , ∞ [

Passo 6

( f - g ) O ponto crítico é x = 1 tem derivada negativa antes e positiva depois desse ponto, o que configura ponto de mínimo:

N ã o   h á   m á x i m o   l o c a l   ;   x = 1   é   m í n i m o   l o c a l

Passo 7

h - i Vamos calcular f ' ' x e analisar seu sinal para descobrir quais são suas regiões de crescimento e decrescimento:

f ' ' x = - 2 x 1 + x 2 2 '                                           ,       s e   x < 0 2 e x 2 - 2 x x - 1 '                                                   ,       s e   x ≥ 0

f ' ' x = - 2 x ' 1 + x 2 2 - 2 x 1 + x 2 2 ' 1 + x 2 4                                     ,       s e   x < 0 2 e x 2 - 2 x ' x - 1 + 2 e x 2 - 2 x x - 1 '                           ,       s e   x ≥ 0

f ' ' x = - 2 1 + x 2 - 2 x 2 2 x 1 + x 2 3                                                                 ,       s e   x < 0 2 e x 2 - 2 x x - 1 x - 1 + 2 e x 2 - 2 x                           ,       s e   x ≥ 0

f ' ' x = 6 x 2 - 2 1 + x 2 3                                                                         ,       s e   x < 0 2 e x 2 - 2 x x 2 - 2 x + 2                           ,       s e   x ≥ 0

Vemos que onde x < 0 o termo tem um denominador que será sempre positivo e o denominador vai ter o sinal dependendo do seguinte:

6 x 2 - 2 > 0 → x 2 > 1 3

x < - 1 3     ;     x > 1 3

Assim, como essa derivada segunda só vale para x < 0 vemos que a concavidade será para cima onde x < - 1 3 e para baixo quando - 1 3 < x < 0 . Ponto de inflexão em x = - 1 3 .

Já no termo em que x ≥ 0 temos um cara que é o produto de uma exponencial com uma parábola com boca para cima e sem raízes reais, o que significa que o termo é sempre positivo!

C ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ] - 1 3 , 0     ;   C ô n c a v a   p a r a   c i m a :   - ∞ , - 1 3   ∪   0 , ∞ [

Passo 8

( j ) Os únicos pontos em que a f ' ' x muda de sinal são x = 0 e x = - 1 3 .

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o : x = - 1 3     ;   x = 0

Passo 9

k Vamos reunir todas as informações para fazer o nosso esboço:

- a   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   p o r é m   n ã o   é   d e r i v á v e l   e m   x = 0

- lim x → ∞ ⁡ f x = ∞   ; lim x → - ∞ ⁡ f x = 0

- A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l : y = 0   ; A s s í n t o t a   v e r t i c a l :   -

- P o n t o   c r í t i c o : x = 1  

- N ã o   h á   m á x i m o   l o c a l   ; x = 1   é   m í n i m o   l o c a l

- D e c r e s c e n t e : [ 0,1     ;     C r e s c e n t e : - ∞ , 0   ∪   1 , ∞ [

- C ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ] - 1 3 , 0     ;   C ô n c a v a   p a r a   c i m a :   - ∞ , - 1 3   ∪   0 , ∞ [

- P o n t o s   d e   i n f l e x ã o : x = - 1 3     ;   x = 0

Vamos fazer o esboço:

Resposta

a   a   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   p o r é m   n ã o   é   d e r i v á v e l   e m   x = 0

b   lim x → ∞ ⁡ f x = ∞   ; lim x → - ∞ ⁡ f x = 0

c   P o n t o   c r í t i c o : x = 1      

d , e   D e c r e s c e n t e : [ 0,1     ;     C r e s c e n t e : - ∞ , 0   ∪   1 , ∞ [

f , g N ã o   h á   m á x i m o   l o c a l   ; x = 1   é   m í n i m o   l o c a l

h , i   C ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ] - 1 3 , 0     ;   C ô n c a v a   p a r a   c i m a :   - ∞ , - 1 3   ∪   0 , ∞ [

j   P o n t o s   d e   i n f l e x ã o : x = - 1 3     ;   x = 0

k   f i g u r a   a c i m a

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