Considere duas cargas elétricas com carga unitária e positiva, fixadas num eixo perpendicular a uma parede, como na figura abaixo. O potencial elétrico gerado por essas duas partículas num ponto x ao longo desse eixo é dado, em unidades convenientes, pela

seguinte função

V x = 1 x - 1 + 1 x + 1

(a) Verifique que o potencial elétrico é dado por

V x = {               - 2 x 2 - 1 ,   - 1 < x < 1   2 x x 2 - 1   ,         x > 1  

(b) Calcule a força exercida numa partícula de carga unitária posicionada em x , dada

por F ( x )   =   - V ’ ( x ) .

(c) Calcule os pontos críticos de V ( x ) e determine seus extremos locais e seus intervalos

de crescimento e decrescimento. A força F ( x ) se anula em algum ponto?

(d) Determine os pontos de inflexão de V ( x ) e seus intervalos de concavidade para cima

e para baixo.

(e) Determine as assíntotas verticais e horizontais de V ( x ) e esboce seu gráfico.

Passo 1

Opa, e ae galera do responde Aí, está tudo joinha?

Para resolver a questão, vamos precisar de alguns conceitos oriundos de cálculo. E ae, tem alguma ideia de quais são? Quer uma dica?

Vamos lá, eu vou te mostrar eles.

Como vamos trabalhar com máximos e mínimos, vamos precisar das seguintes regrinhas da derivada de primeira ordem.

f ' x 0 = 0 → x 0   é   u m   p o n t o   c r í t i c o

f ' x < 0 ,   f u n ç ã o   é   d e c r e s c e n t e

f ' x > 0 ,   f u n ç ã o   é   c r e s c e n t e

Além disso, temos que identificar a concavidade. Para isso precisamos de:

f ' ' x > 0     ∀ x ,   c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0   ∀ x ,   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

E finalmente, para resolver a alternativa d ) , precisaremos de um conhecimento sobre limites para encontrar as assíntotas. Mas como isso é bem isolado, vamos deixar para conversar no tópico final.

E agora que temos todas as informações, vamos finalmente responder à questão.

Passo 2

Primeiramente, para resolver a alternativa a ) vamos precisar analisar os dois conjuntos de função:

V x = 1 x - 1 + 1 x + 1

V x = {               - 2 x 2 - 1 ,   - 1 < x < 1   2 x x 2 - 1   ,         x > 1  

Se você perceber bem, no primeiro caso você tem uma representação de uma soma de duas frações, já no segundo caso não.

Observando isso vamos primeiramente tirar o MMC para unificar as somas, logo:

V x = x - 1 + x - 1 x - 1 x + 1

Agora vamos analisar conforme o domínio, podemos ver que x não pode ser - 1 e nem 1 . Porque quando colocamos esses valores, nosso potencial tem uma indeterminação indo para infinito.

Portanto, vamos realizar a análise primeiramente com - 1 < x < 1 . Analisando nesse intervalo, temos que:

x - 1 = - x - 1 = 1 - x

x + 1 = x + 1 = x + 1

Substituindo na fórmula acima, temos que:

V x = 1 - x + x + 1 1 - x 1 + x = 2 1 - x 2 = - 2 x 2 - 1  

Quando temos que x > 1 geramos as seguintes igualdades:

x - 1 = x - 1 = x - 1

x + 1 = x + 1 = x + 1

Sendo assim temos que:

V x = x - 1 + x + 1 ( x - 1 ) ( 1 + x ) = 2 x x 2 - 1

Confirmando a igualdade.

Passo 3

Para calcular os pontos críticos, vamos precisar da derivada de primeira ordem do potencial, e para o cálculo da força também iremos precisar.

Porque do enunciado, temos que F = - V ' ( x ) . Sendo assim, derivando a expressão vamos responder a alternativa b ) e c ) .

Vamos encontrar a derivada do potencial que está no intervalo - 1 < x < 1 .

d d x V x = d d x - 2 x 2 - 1

Para resolver vamos utilizar a regra do quociente das derivadas, logo:

d d x V x = - d d x 2 * x 2 - 1 - d d x x 2 - 1 * 2 x 2 - 1 2 = - - 4 x x 2 - 1 2

Agora vamos realizar a mesma operação para calcular a força ao longo do intervalo x > 1   .

d d x V x = d d x 2 x x 2 - 1

Aplicando a regra do quociente:

d d x V x = - d d x 2 x * x 2 - 1 - d d x x 2 - 1 * 2 x x 2 - 1 2 = 2 x 2 - 1 - 2 x * 2 x x 2 - 1 2 = 2 x 2 - 1 - 4 x 2 x 2 - 1 2

d d x V x = - 2 + 2 x 2 x 2 - 1 2

Logo, temos que a força é:

F = - d d x V x = {               - 4 x x 2 - 1 2 ,   - 1 < x < 1   2 + 2 x 2 x 2 - 1 2 ,         x > 1  

Como F x = - V ' ( x ) temos que os pontos críticos são os pontos na qual a força se anula, sendo assim:

F = 0 = 4 x x 2 - 1 2 = 2 + 2 x 2 x 2 - 1 2

Como condição de continuidade, o denominador não pode ser 0 . Logo temos que:

4 x = 0

2 + 2 x 2 = 0

Da primeira equação tiramos que x = 0 é ponto crítico, na segunda equação temos que não existe x real.

Analisando ainda a força temos que

x 2 - 1 2 > 0   ,   ∀ x

Logo, só precisamos analisar o numerador que é 4 x . Sendo assim, no intervalo ( - 1,0 ] a derivada é negativa, logo o potencial é decrescente, consequentemente [ 0,1 ) temos que a derivada é positiva gerando uma função crescente.

Como temos o seguinte perfil da função: A função é decrescente até o 0 e depois se torna crescente até o 1 , gerando o seguinte gráfico:

Passo 4

Normalmente para resolver alternativa d ) iriamos precisar da seguinte equação:

d d x d d x V x = d d x F = 0

Porém, temos que existe apenas o ponto crítico x = 0 e identificamos a característica do gráfico antes, podemos concluir que x = 0 é um ponto de mínimo.

Passo 5

Para resolver a última alternativa iremos utilizar o conceito de assíntotas de cálculo 1. Na prática, é entender o que acontece com a função quando se aproxima das indeterminações e quando as funções tendem ao infinito.

Como vamos tender ao infinito. Temos que ∞ > 1 , portanto:

V x =   2 x x 2 - 1     =   2 x - 1 x   x x   = 2 1 - 1 x   = 2  

Sendo assim, temos que V = 2 é uma assíntota horizontal.

Agora vamos analisar as descontinuidades que é x = 1 e x = - 1 , porém aqui temos uma região de descontinuidade. Logo precisamos analisar os limites laterais.

Vamos começar tendendo a x = - 1 pela direita, logo os valores de x é tudo maior do que - 1 . Portanto:

V ( x )   = - 2 x 2 - 1 = 2 1 - x 2 = ∞    

Agora vamos realizar a mesma análise com x tendendo a 1 tanto pela esquerda, quanto pela direita.

Tendendo a 1 pela esquerda temos que os valores de x é menor do que 1 , sendo assim:

V x   = - 2 x 2 - 1 = - ∞  

Agora fazendo tender a 1 pela direita os valores de x é tudo maior do que 1 . Sendo assim, temos que:

V x   = 2 x x 2 - 1 = 2 x - 1 x x x   = ∞  

Sendo assim, nosso gráfico é algo do tipo:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = e x
Seja f x = x 2 .(a) Estime os valores de f ' ( 0 ) , f ' 1 2 , f ' ( 1 ) e f ' ( 2 ) fazendo uso de uma ferramenta gráfica para dar zoom no gráfico de f .(b) Use a simetria para deduzir os valores de
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = s e n x
Trace o gráfico da função f x = { x 2,- 1 ≤ x0 - x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 f é contínua em x=0 ? f é derivável em x=0 ?
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,- 3 ≤ x ≤ 2