Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Considere a função p x = 2 x 3 - 3 x 2 - 12 x .

( a ) Determine:

( i )   os limites de p ( x )   quando x tende a - ∞ e quando x tende a ;

( i i )   os intervalos onde p é crescente e aqueles onde é decrescente;

( i i i )   os pontos de máximo e mínimo locais e/ou globais (abscissas e ordenadas);

( i v )   os intervalos onde a concavidade é para cima (função é convexa) e aqueles onde é para baixo (função é côncava);

( v )   os pontos de inflexão de p .

( b )   Esboce o gráfico de p , respeitando todos os aspectos do gráfico identificados no item ( a ) .

Passo 1

a Vamos termo a termo:

i Para calcular os limites a gente tem que olhar para o grau desse polinômio p x . A gente sabe que o termo de maior grau é quem vai determinar para onde vai a função. Como temos ali no p x o 2 x 3 como esse maior grau, vamos observar para onde ele iria em cada caso.

Para x → + ∞ o 2 x 3 explode para o mesmo valor, + ∞ . Entretanto, como o expoente é ímpar, ele vai para - ∞ quando x → - ∞ . Assim, seguem os limites pedidos:

lim x → ∞ ⁡ p x = ∞

lim x → - ∞ ⁡ p x = - ∞

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Passo 2

i i Quando a gente quer analisar o crescimento da função temos que analisar o sinal da derivada primeira do gráfico:

p ' x = 6 x 2 - 6 x - 12

= 6 x 2 - x - 2

p o r   B h a s k a r a

= 6 x - 2 x + 1

Partiu fazer o quadro de sinais para esse cara:

Conclusão: o p x decresce para x   ∈ ] - 1,2 [ e cresce no resto do domínio.

Passo 3

i i i Os pontos onde temos máximos e mínimos, os pontos críticos, são aqueles onde f ' x = 0 e muda-se o regime de crescimento. Como a gente vê, isso acontece em x = - 1 e em x = 2 . Para o primeiro ponto, a derivada é positiva antes e negativa depois, gerando um máximo local. Para o segundo valor, a derivada é negativa antes e positiva depois, um ponto de mínimo local.

x = - 1 → p - 1 = 2 - 1 3 - 3 - 1 2 - 12 - 1

= - 2 - 3 + 12 = 7

x = 2 → p 2 = 2 2 3 - 3 2 2 - 12 2

= 16 - 12 - 24 = - 20

Assim, máximo local ocorre em - 1,7 e o mínimo local em 2 , - 20

Passo 4

i v Concavidade pede que trabalhemos com a derivada segunda:

p ' ' x = 12 x - 6

= 12 x - 1 2

Dá para ver que esse cara é positivo para valores maiores que x = 1 2 e negativo para menores. Dá para visualizar então que a função é côncava para cima para valores de x > 1 2 e para baixo no resto do domínio!

Passo 5

v Ponto de inflexão é onde muda a concavidade de p x . Isso só acontece no ponto 1 2 , p 1 2 , onde p ' ' x = 0 !

x = 1 2 → p 1 2 = 2 1 2 3 - 3 1 2 2 - 12 1 2

= 1 4 - 3 4 - 6 = - 13 2

Temos um ponto de inflexão em 1 2 , - 13 2 !

Passo 6

b Agora é só esboçar esse cara, lembrando dos pontos relevantes (críticos e de inflexão) dos limites que calculamos e das regiões de crescimento e decrescimento, assim como as concavidades:

Resposta

a

( i )         l i m ┬ ( x → ∞ ) ⁡ p ( x ) = ∞   ;       l i m ┬ ( x → - ∞ ) ⁡ p ( x ) = - ∞ .

( i i )     p ( x )   d e c r e s c e   p a r a   x   ∈ ] - 1,2 [   e   c r e s c e   n o   r e s t o   d o   d o m í n i o .

( i i i )   m á x i m o   l o c a l   e m   ( - 1,7 )   e   o   m í n i m o   l o c a l   e m   ( 2 , - 20 ) .

( i v )   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   p a r a   v a l o r e s   d e   x > 1 / 2   e   p a r a   b a i x o   n o   r e s t o   d o   d o m í n i o .

( v )   p o n t o   d e   i n f l e x ã o   e m   ( 1 / 2 , - 13 / 2 ) .

b f i g u r a   a c i m a

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