Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Considere a função f x = 3 x 4 - 4 x 3 - 12 x 2 + 7 .

a) Esboce o gráfico de f , determinando:

  • Os intervalos onde f é crescente ou decrescente;
  • Os seus máximos e mínimos locais;
  • Os intervalos onde a concavidade é para cima ou para baixo.

b) Determine o número de raízes distintas de f   (isto é, para quantos valores distintos de tem-se f x = 0 ) . Justifique sua resposta.

Passo 1

A primeira coisa que nos é pedido é para determinar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente, ou seja, vamos precisar da primeira derivada.

f x = 3 x 4 - 4 x 3 - 12 x 2 + 7

f ' x = 12 x 3 - 12 x 2 - 24 x

Colocando 12x em evidência temos:

f ' x = 12 x x 2 - x - 2

f ' x = 12 x ( x + 1 ) ( x - 2 )

Nossos pontos crítico (aqueles que podem zerar nossa função) serão então 0, -1 e 2.

Fazendo a análise dessa função temos então:

Percebemos então que entre - ∞ e -1 a função é decrescente, depois crescente entre -1 e 0, decrescente novamente entre 0 e 2, e finalmente crescente de 2 a ∞ .

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Passo 2

Com essas informações podemos descobrir ainda quais são seus máximos e mínimos locais, que estarão em f - 1 ,   f 0 e   f ( 2 ) .

f x = 3 x 4 - 4 x 3 - 12 x 2 + 7

f - 1 = 3 - 1 4 - 4 - 1 3 - 12 - 1 2 + 7 = 2

f 0 = 0 - 0 - 0 + 7 = 7

f 2 = 3 2 4 - 4 2 3 - 12 2 2 + 7 = - 25

Isso nos trás que (-1,2) é um mínimo local, (0, 7) é um máximo local e (2,-25) é um mínimo local.

Passo 3

Para descobrirmos os pontos onde a concavidade é para cima ou para baixo, aplicamos a segunda derivada.

f ' x = 12 x 3 - 12 x 2 - 24 x

f ' ' x = 36 x 2 - 24 x - 24

f ' ' x = 12 ( 3 x 2 - 2 x - 2 )

Tirando as raízes dessa equação do segundo grau para ver onde essa função zera.

∆ = b 2 - 4 a c = 4 - 4.3 . - 2 = 4 + 24 = 28

x = - b ± ∆ 2 a = 2 ± 28 6 = 2 ± 4 × 7 6 = 2 1 ± 7 2 × 3 = 1 ± 7 3

1 + 7 3 ≈ 1,21

1 - 7 3 ≈ - 0,55

Passo 4

Sabemos então que em aproximadamente - 0,55   e   1,21 a concavidade da função muda. Fazendo a análise do sinal da segunda derivada percebemos que entra - ∞ e -0,55 a concavidade é positiva, entre -0,55 e 1,21 é voltada para baixo, e entre 1,21 e ela volta a ser voltada ara cima.

O esboço final fica então igual à:

As barras azuis destacam os intervalos onde a função tem uma variação em sua concavidade.

Passo 5

b) Para determinar o número de raízes podemos simplesmente observar nosso esboço. Note que a função cruza apenas duas vezes o eixo x,logo, temos duas raízes.

Você deve observar ainda que antes de x=-1 e depois de x=2 a função está sempre tendendo a + ∞ ,   o que nos indica que ela nunca mais cruza o eixo x, mesmo quando x tende a ± ∞ .

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