Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

4) Considere a função g x = x 4 - 4 x 3 + 24

  1. Calcule lim x → - ∞ ⁡ g x e lim x → + ∞ ⁡ g x
  2. Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de g , assim como os seus pontos (se existem) de máximo e mínimo absoluto/relativo.
  3. Determine os intervalos de concavidade para cima/baixo de g, assim como os seus pontos (se existem) de inflexão.
  4. Usando as informações dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de g, indicando os pontos notáveis obtidos. (Não tente determinar as raízes da função g.)

Passo 1

Bora lá, questão de esboço de gráfico. A letra a está essencialmente pedindo pra gente ver se existem assíntotas horizontais. Mas veja bem:

g x = x 4 - 4 x 3 + 24

Pô, g é um polinômio! E polinômios não tem assíntotas horizontais! Em matematiquês, podemos provar isso fazendo:

lim x → ± ∞ ⁡ g x = lim x → ± ∞ ⁡ x 4 - 4 x 3 + 24 = lim x → ± ∞ ⁡ x 4 1 - 4 x + 24 x 4

O que dá:

lim x → ± ∞ ⁡ x 4 1 - 4 x + 24 x 4 = lim x → ± ∞ ⁡ x 4 ∙ lim x → ± ∞ ⁡ 1 - 4 x + 24 x 4

lim x → ± ∞ ⁡ x 4 1 - 4 x + 24 x 4 = + ∞ ∙ 1 - 0 + 0 = + ∞

Ou seja, os dois limites são iguais e g x não tem assíntotas horizontais!

lim x → ± ∞ ⁡ g x = + ∞

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Passo 2

Vamos então pra letra b . Ela nos pede intervalos de crescimento e decrescimento. Quem dita isso é o sinal da primeira derivada. Então, derivando g , temos:

g x = x 4 - 4 x 3 + 24

g ' x = 4 x 3 - 12 x 2

Os pontos críticos vão ser aqueles que zeram a primeira derivada, logo:

g ' x = 4 x 3 - 12 x 2 = 0

4 x 2 x - 3 = 0

E somente x = 0 e x = 3 fazem isso ser possível! Agora vamos analisar o sinal da primeira derivada em intervalos que envolvam esses pontos críticos, beleza? Os intervalos vão ser:

- ∞ , 0

0,3

3 , + ∞

Pro primeiro intervalo, podemos testar x = - 1 . Vamos ter:

g ' - 1 = 4 - 1 3 - 12 - 1 2 = - 16 < 0

Pro segundo intervalo, podemos testar x = 1 . Vamos ter:

g ' 1 = 4 1 3 - 12 1 2 = - 8 < 0

Pro terceiro intervalo, podemos testar x = 4 . Vamos ter:

g ' 4 = 4 4 3 - 12 4 2 = 64 > 0

Sendo assim, g x é decrescente nos dois primeiros intervalos (pois tem primeira derivada negativa) e crescente no último intervalo (pois tem primeira derivada positiva)

D e c r e s c e n t e   e m → - ∞ , 0 ∪ 0,3 C r e s c e n t e   e m → 3 , + ∞

Agora vamos ver os pontos críticos. Pra x = 0 , antes dele a função decrescia e depois a função continuava decrescente. Sendo assim, esse ponto não é nem de máximo nem de mínimo. Agora, pra x = 3 , como antes dele a função decrescia e depois passou a crescer, vamos ter que:

x = 3 → P o n t o   d e   m í n i m o

Como os limites mostram que a função cresce indefinidamente pros dois lados, então:

x = 3 → P o n t o   d e   m í n i m o   a b s o l u t o

Passo 3

Agora vamos bater um papo sobre concavidades. A analise é quase a mesma, mas agora com a segunda derivada. Logo, derivando uma vez a primeira derivada:

g ' x = 4 x 3 - 12 x 2

Temos:

g ' ' x = 12 x 2 - 24 x

E igualando a 0 :

g ' ' x = 12 x 2 - 24 x = 0

12 x x - 2 = 0

O que só é possível quando x = 0 e x = 2 . Agora vamos analisar o sinal da segunda derivada em intervalos que envolvam esses pontos, beleza? Os intervalos vão ser:

- ∞ , 0

0,2

2 , + ∞

Pro primeiro intervalo, podemos testar x = - 1 . Vamos ter:

g ' ' - 1 = 12 - 1 2 - 24 - 1 = 36 > 0

Pro segundo intervalo, podemos testar x = 1 . Vamos ter:

g ' ' 1 = 12 1 2 - 24 1 = - 12 < 0

Pro terceiro intervalo, podemos testar x = 3 . Vamos ter:

g ' ' 3 = 12 3 2 - 24 3 = 36 > 0

Sendo assim, g x tem concavidade para cima no primeiros e último intervalo (pois tem segunda derivada positiva) e tem concavidade pra baixo no intervalo do meio (pois tem segunda derivada negativa)

C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a → - ∞ , 0 ∪ 2 , + ∞ C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o → 0,2

Agora vamos ver os pontos que achamos. E veja só, tanto pra x = 0 quanto pra x = 2 a concavidade antes do ponto e depois do ponto são diferentes. Se são pontos de mudança de concavidade, são então pontos de inflexão!

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o → x = 0 x = 2

Passo 4

Ta na hora de esboçar o gráfico. Já temos muita informação, saca só o resumo:

lim x → ± ∞ ⁡ g x = + ∞

D e c r e s c e n t e   e m → - ∞ , 0 ∪ 0,3 C r e s c e n t e   e m → 3 , + ∞ x = 3 → P o n t o   d e   m í n i m o   a b s o l u t o

C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a → - ∞ , 0 ∪ 2 , + ∞ C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o → 0,2 P o n t o s   d e   i n f l e x ã o → x = 0 x = 2

Caia bem saber as raízes, mas como essa questão não quer que a gente faça isso, vamos obedecer. Pra termos uma noção no entanto do que estamos fazendo, ao esboçar, vamos achar os pontos que envolvam os valores de x notáveis que encontramos:

g 0 = 0 4 - 4 0 3 + 24 = 24

g 2 = 2 4 - 4 2 3 + 24 = 8

g 3 = 3 4 - 4 3 3 + 24 = - 3

Opa, veja só! Se g 2 > 0 e g 3 < 0 , existe uma raiz entre 2 e 3 . Não importa onde é, mas no nosso esboço a curva tem que cruzar o eixo x ! E ainda, como:

lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞

A partir do x = 3 a curva vai cruzar outra vez o eixo x ! Agora sim, mesmo sem saber as raízes, podemos esboçar direito. Vamos ter:

Resposta

  1. lim x → ± ∞ ⁡ g x = + ∞
  2. D e c r e s c e n t e   e m → - ∞ , 0 ∪ 0,3 C r e s c e n t e   e m → 3 , + ∞ x = 3 → P o n t o   d e   m í n i m o   a b s o l u t o
  3. C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a → - ∞ , 0 ∪ 2 , + ∞ C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o → 0,2 P o n t o s   d e   i n f l e x ã o → x = 0 x = 2

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