Considere a função f x = - x 2 + 2 x + 1 , cujo domínio é o maior intervalo poss��vel para que f seja inversível e para que o gráfico de f - 1 (a função inversa de f ) passe pelo ponto ( 1,0 )

  1. Determine o domíno de f e de f - 1
  2. Determine uma expressão para f - 1 x
  3. Esboce abaixo a reta y = x e os gráficos das funções f e f - 1 (em seus respectivos domínios)

Passo 1

Antes da gente começar e mergulhar de cabeça na questão, vamos dar uma lembrada rápida no conceito de função inversa:

Beleza, vamos então analisar uma coisa que o enunciado nos deu o ponto 1,0 . Seja:

Se 1 pertende ao D o m   f - 1 e se associa ao número 0 , pertencente à I m   f - 1 , como:

I m   f - 1 = D o m   f

D o m   f - 1 = I m f

Então 0 pertence ao domínio de f e 1 à imagem de f ! O que implica em dizer que se:

1,0   ∈ f - 1 → 0,1   ∈ f

Ok, mas isso ainda não nos diz muita coisa. Vamos pensar além então. Pelo teorema da função inversa:

S e   f x   é   d e r i v á v e l   e   f ' x ≠ 0   ,   e n t ã o   f x   é   i n v e r s í v e l

Bem, f x é um polinômio né, então é derivável pra todo x ∈ I R . Agora, vamos ver se f ' x ≠ 0 ta valendo. Saca só:

f ' x = - x 2 + 2 x + 1 '

f ' x = - 2 x + 2

Se igualarmos a primeira derivada à 0 , temos:

- 2 x + 2 = 0

x = 1

Opa, então f ' x ≠ 0 não é verdade em toooodos os pontos. Mas nos domínios:

- ∞ , 1

1 , + ∞

Aí sim f vai ser inversível! Mas olha só! O ponto 0,1 não tem que fazer parte da curva de f ? Como o segundo intervalo não contém o valor x = 0 , vamos ter que excluir ele! O domínimo de f vai ser então:

D o m f = - ∞ , 1

Pra fechar a letra a , vamos pegar a imagem de f . Pra isso, basta substituir pelos valores extremos do domínio:

f x → - ∞ = - ∞

f 1 = - 1 2 + 2.1 + 1 = 2

A imagem de f vai ser então:

I m f = - ∞ , 2

E como:

D o m   f - 1 = I m f

O domínio da função inversa vai ser:

D o m �� f - 1 = - ∞ , 2

Passo 2

Show, vamos achar o gráfico da inversa agora. Vamo que vamo. Seja:

f x = - x 2 + 2 x + 1 = y

Se passarmos o y pro outro lado, temos:

- x 2 + 2 x + 1 - y = 0

O que ainda é um polinômio de segundo grau no qual queremos saber as raízes! Usando a querida fórmula de Bháskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Onde:

a = - 1 b = 2 c = 1 - y

Ficamos com:

x = - 2 ± 4 + 4 1 - y - 2 = - 2 ± 2 1 + 1 - y - 2 = 1 ∓ 2 - y

x = 1 ∓ 2 - y

Ok, não acabou! Afinal, temos um sinal de ali. Como tirar ele? Bem, pra isso, vamos olhar o domínio de f de novo:

D o m f = - ∞ , 1

Opa, então x < 1 ! E se x = 1 ∓ 2 - y , vamos ter:

1 ∓ 2 - y < 1

∓ 2 - y < 0

Como 2 - y > 0 sempre porque temos uma raíz par, a última inequação acima só é possível se o sinal de na verdade for só um sinal de - ! Show, jogamos fora o sinal de . Ficamos então com:

x = 1 - 2 - y

E agora que isolamos x , podemos trocar x e y de lugar:

y = 1 - 2 - x

f - 1 x = 1 - 2 - x

Passo 3

Última parte da questão: esboço de gráfico! No caso, a questão quer que a gente esboce não uma mas três curvas! Vamos esboçar então

f x = - x 2 + 2 x + 1

f - 1 x = 1 - 2 - x

y = x

Começando por f x , vamos fazer a primeira e a segunda derivada e igualar a 0 , beleza? Assim a gente vai achar, respectivamente, informações sobre a inclinação da reta tangente ao gráfico e a concavidade. Derivando uma vez:

f ' x = - 2 x + 2 = 0

x = 1

Opa, temos x = 1 como ponto crítico. Vamos ver se ele é de máximo ou de mínimo ou nenhum dos dois então. Escolhendo um x antes dele, por exemplo, x = 0 , temos:

f ' 0 = 2 > 0

E escolhendo um x depois, por exemplo, x = 2 , temos:

f ' 2 = - 2 < 0

Então x = 1 é um ponto de máximo, o que quer dizer que antes de x = 1 a função cresce e depois, decresce. Partiu checar a segunda derivada agora:

f ' ' x = f ' x '

f ' ' x = - 2

Olha só! A segunda derivada é negativa pra todo x ∈ I R ! Então a função vai ter concavidade pra baixo o tempo todo! Juntando as informações de f x , e lembrando que o ponto 0,1 está sobre a curva, esboçamos:

Pra segunda curva, f - 1 x , vamos fazer a mesmo análise, beleza? Primeira derivada primeiro então:

f - 1 ' x = 1 - 2 - x '

f - 1 ' x = 1 2 2 - x

E veja só! A primeira derivada é sempre positiva e nunca igual à 0 ! Ou seja, f - 1 x é estritamente crescente, sem pontos críticos! Agora, analisando a segunda derivada, pela regra do quociente, temos:

f - 1 ' ' x = f - 1 ' x ' = 1 2 2 - x '

f - 1 ' ' x = - 2 2 - x ' 2 2 - x 2 = - - 2 2 2 - x 4 2 - x

f - 1 ' ' x = 1 4 2 - x 2 - x

O que nos dá outra função no estilo da primeira derivada: sempre positiva e nunca igual à 0 . Se a segunda derivada é assim, então f - 1 x tem concavidade pra cima sempre! Juntando todas as informações sobre f - 1 x e lembrando que 1,0 pertence à curva, esboçamos:

Observe que como:

2 - x ≥ 0

2 - x ≥ 0

x ≤ 2

Por isso que f - 1 x , em roxo, não tem curva para x > 2 . Agora é só adicionar a curva y = x ao esboço e aplicar os domínios das duas funções: D o m f = - ∞ , 1 D o m f - 1 = - ∞ , 2

Como o domínio de f - 1 já está representado, fechamos a questão com o esboço:

Resposta

  1. D o m f = - ∞ , 1 D o m f - 1 = - ∞ , 2
  2. f - 1 x = 1 - 2 - x

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