Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Considere a função y = f ( x ) cujo gráfico é dado na figura abaixo

Com a ajuda da figura, responda às seguintes perguntas:

(i) Quais são as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico da função f ?

(ii) Identifique os intervalos onde a derivada da função f é positiva e os intervalos onde a derivada da função f é negativa

(iii) Quais são os pontos críticos de f ? A função f admite máximos ou mínimos locais nesses pontos?

(iv) A função f é derivável em x = e ? Caso seja, quanto vale f ' ( e ) ? A função f é derivável em x = 15 ? Caso seja, quanto vale f ' ( 15 ) ?

Passo 1

i Assíntotas horizontais são as tendências da função quando ela converge enquanto x explode para ± ∞ .

Nesse caso aí, repara que para x → + ∞ a função cresce indefinidamente. Assim, não temos assíntota aí. Já para x → - ∞ temos uma assíntota, pois o valor converge para 0 quando x decresce para esse valor.

Assíntotas verticais surgem quando a função explode para ± ∞ em descontinuidades do domínio.

No caso, só temos uma descontinuidade, e nela a função explode para - ∞ . Logo, aparece uma assíntota vertical em x = 5 .

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Passo 2

i i Para determinar o sinal da derivada, basta olhar onde a função é crescente ou decrescente, sendo positiva e negativa, respectivamente.

Assim, f ' x é positiva em x < d , 5 < x < e e x > 15 ; negativa em d < x < 5 e e < x < 15 .

Passo 3

i i i Nos pontos críticos, procuramos onde a derivada é nula, ou a função tem um bico. Isso acontece em picos do gráfico, vales, e os próprios “bicos” da função.

No caso, temos dois picos (máximos locais) nos pontos x = d e x = e (marcados com A e B ). Além disso, há um “bico” onde a função muda de sinal em x = 15 , correspondendo a um mínimo local.

Passo 4

i v Em x = e , vemos que a função assume um pico, um máximo local, com isso, vemos que ali não só é um ponto crítico, como a derivada é nula, ou seja:

f ' e = 0

Além disso, em x = 15 a função tem um “bico”. Isso quer dizer que ela muda abruptamente a sua derivada, tendo as derivadas laterais diferentes, o que significa que ela não é derivável nesse ponto:

f ' 15 → n ã o   e x i s t e

Resposta

i   A s s .   H o r i z o n t a l : y = 0

A s s .   V e r t i c a l : x = 5

i i f ' x   é   p o s i t i v a   e m   x < d ,       5 < x < e     e   e m     x > 15 ;  

n e g a t i v a   e m   d < x < 5         e   e m       e < x < 15

i i i   x = d   M á x .   l o c a l       ;       x = e   M á x .   l o c a l

  x = 15   M í n i m o   L o c a l

i v   f ' e = 0       ;       f ' 15 → n ã o   e x i s t e

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