Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Considere a função f : I R → I R dada por:

f x = 3 x 4 - 16 x 3 + 24 x 2

Determine caso exista(m):

(a.1) O(s) intervalo(s) de crescimento e decrescimento de f

(a.2) O(s) valor(es) de x para os quais a função possui máximo local e mínimo local.

(b.1) O(s) intervalo(s) onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo.

(b.2) O(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f .

(c) Faça um esboço do gráfico de f indicando explicitamente o(s) ponto(s) de máximo, de mínimo e de inflexão determinado(s) nos itens anteriores. Esboce também a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico de f no(s) ponto(s) em que a derivada é zero e no(s) ponto(s) de inflexão

(d) A equação f x - c = 0   ,   c   ϵ   I R sempre possui solução? Justifique sua resposta.

Passo 1

O item a . 1 tá pedindo o intervalo de crescimento e decrescimento e o a . 2 , pontos de máximo e/ou mínimo. Quem vai ajudar a gente a responder os dois itens vai ser a inclinação da reta tangente, beleza? Como a inclinação é dada pela primeira derivada, partiu derivar!

f ' x = 3 x 4 - 16 x 3 + 24 x 2 '

f ' x = 12 x 3 - 48 x 2 + 48 x

E vamos lembrar do seguinte, se num intervalo qualquer, tivermos:

f ' x > 0 → f x   é   c r e s c e n t e

f ' x < 0 → f x   é   d e c r e s c e n t e

Opa, então pra gente saber em quais intervalos isso acontece, temos que igualar a primeira derivada à 0 ! Vamos ter então:

f ' x = 12 x 3 - 48 x 2 + 48 x = 0

x 12 x 2 - 48 x + 48 = 0

Ou seja, vamos ter ou um ou o outro:

x = 0

12 x 2 - 48 x + 48 = 0

No último caso, dividindo os dois lados por 12 , dá no mesmo. Ficamos com:

x 2 - 4 x + 4 = 0

Como temos uma função de segundo grau, a gente pede ajuda pro famoso Bháskara! Afinal, se:

x 2 - 4 x + 4 = a x 2 + b x + c

Podemos reescrever o polinômio como:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

Onde x 1,2 são as raízes do polinômio, dadas por:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Vamos ter então:

x 1,2 = - - 4 ± - 4 2 - 4.1 . 4 2.1 = 4 ± 16 - 16 2.1 = 2

Sendo assim

x 2 - 4 x + 4 = x - 2 2 = 0

x = 2

Beleza, achamos os pontos que zeram a primeira derivada! São eles:

x = 0

x = 2

E o que a gente faz com isso? Bem, a gente monta os seguintes intervalos envolvendo os valores encontrados:

x < 0

0 < x < 2

x > 2

E vê o que acontece com o sinal da primeira derivada nesses intervalos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos checar então o sinal da primeira derivada. No primeiro intervalo, x < 0 , vamos escolher, por exemplo, x = - 1 . Vamos ter:

f ' - 1 = 12 - 1 3 - 48 - 1 2 + 48 - 1 = - 108 < 0

No segundo intervalo, 0 < x < 2 , usando x = 1 , por exemplo, vamos ter:

f ' 1 = 12 1 3 - 48 1 2 + 48 1 = 12 > 0

E pro terceiro intervalo, x > 2 , usando x = 3 , por exemplo, vamos ter:

f ' 3 = 12 3 3 - 48 3 2 + 48 3 = 36 > 0

Se no primeiro intervalo a primeira derivada é negativa, a função decresce. Se no segundo e no terceiro ela é positiva, então a função cresce. Show de bola, os intervalos vão ser:

D e c r e s c i m e n t o → x < 0 C r e s c i m e n t o → x > 0

Quanto a pontos de máximo e mínimo, seja:

Então olha só! Se c = 0 e δ = 1 , o ponto x = 0 se encaixa bem num ponto de mínimo: antes dele a função decrescia, depois, crescia!

x = 0 → P o n t o   d e   M í n i m o   L o c a l

O outro candidato seria x = 2 , mas como antes e depois a função está crescento, não rola viu? Esse ponto não é de máximo e nem de mínimo, apesar de também ser um ponto crítico de f .

Passo 3

Partiu então letra b ! Bebe uma água e vem comigo que a gente tira a questão de letra! Como o item b . 1 fala de concavidade e b . 2 de ponto de inflexão, vamos usar agora a querida segunda derivada beleza? Olha só como ela vai ficar:

f ' ' x = f ' x '

f ' ' x = 12 x 3 - 48 x 2 + 48 x '

f ' ' x = 36 x 2 - 96 x + 48

E vamos lembrar do seguinte, se num intervalo qualquer, tivermos:

f ' ' x > 0 → f x   é   c ô n c a v a   p r a   c i m a

f ' ' x < 0 → f x   é   c ô n c a v a   p r a   b a i x o

Opa, então pra gente saber em quais intervalos isso acontece, temos que igualar a segunda derivada à 0 ! Vamos ter então:

f ' ' x = 36 x 2 - 96 x + 48 = 0

Dividindo de novo os dois lados por 12 , temos:

3 x 2 - 8 x + 4 = 0

Opa, outro polinômio de segundo grau! Partiu Bháskara de novo então! Vamos ter:

a = 3 b = - 8 c = 4

Então:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 8 ± 64 - 48 6

x 1,2 = 8 ± 16 6 = 8 ± 4 6 =   8 + 4 6 = 2 8 - 4 6 = 2 3

E reescrevemos o polinômio como:

3 x 2 - 8 x + 4 = 3 x - 2 x - 2 3 = 0

Beleza, achamos os pontos que zeram a segunda derivada! São eles:

x = 2 3

x = 2

E o que a gente faz com isso? Bem, a gente monta os seguintes intervalos envolvendo os valores encontrados:

x < 2 3

2 3 < x < 2

x > 2

E vê o que acontece com o sinal da segunda derivada nesses intervalos!

Passo 4

Vamos checar então o sinal da segunda derivada. No primeiro intervalo, x < 2 3 , vamos escolher, por exemplo, x = 0 . Vamos ter:

f ' ' 0 = 36 0 2 - 96 0 + 48 = 48 > 0

No segundo intervalo, 2 3 < x < 2 , usando x = 1 , por exemplo, vamos ter:

f ' ' 1 = 36 1 2 - 96 1 + 48 = - 12 < 0

E pro terceiro intervalo, x > 2 , usando x = 3 , por exemplo, vamos ter:

f ' ' 3 = 36 3 2 - 96 3 + 48 = 84 > 0

Maravilha, achamos os intervalos e os sinais! Como:

Vamos ter então:

C ô n c a v o   p r a   c i m a → - ∞ , 2 3 ∪ 2 , + ∞ C ô n c a v o   p r a   b a i x o → 2 3 , 2

E como o ponto de inflexão é exatamente o ponto em que a concavidade muda, vamos ter só dois pontos desse tipo, que vão ser:

x = 2 3 x = 2 → P o n t o s   d e   i n f l e x ã o

Passo 5

Passo 5 é esboçar o gráfico e colocar, bem, tudo haha. Primeiro, vamos ver os pontos que devemos explicitar: os de máximo e mínimo e os de inflexão. Como

f x = 3 x 4 - 16 x 3 + 24 x 2

x = 0 → P o n t o   d e   M í n i m o   L o c a l

x = 2 3 x = 2 → P o n t o s   d e   i n f l e x ã o

Vamos explicitar os pontos:

A = 2 3 , f 2 3 = 0,67   ; 6,52

B = 0 , f 0 ≅ 0,0

C = 2 , f 2 = 2,16

E explicitando também as retas tangentes a esses pontos, que tem a seguinte equação:

r x = f ' x 0 x - x 0 + f x 0

Onde x 0 , f x 0 é um ponto de tangência, vamos ter, para o ponto A :

r x = f ' 2 3 x - 2 3 + f 2 3

r x ≅ 14,22 x - 2 3 + 6,52

Para o ponto B , temos:

r x = f ' 0 x - 0 + f 0

r x = y = 0

E para o ponto C , temos:

r x = f ' 2 x - 2 + f 2

r x = y = 16

Pra fechar o esboço, dá uma olhada nisso:

f x = 3 x 4 - 16 x 3 + 24 x 2

lim x → ± ∞ ⁡ f x = ± ∞

Polinômios de grau par vão ter o mesmo limite, igual à + ∞ , independente se x → - ∞ ou se x → + ∞ . Juntando isso com as informações que pegamos sobre intervalo de crescimento e decrescimento e concavidades, esboçamos:

Passo 6

Pra fechar com chave de ouro, vamos resolver a letra d . Quando pedimos pra checar se f x - c = 0   ,   c   ϵ   I R sempre tem solução, podemos reescrever a expressão para:

f x = c   ,   c   ϵ   I R

E checar a mesma coisa! Opa, então o que a questão quer saber é se, já que c   ϵ   I R , a função tem como imagem todo o conjunto dos número reais. Mas veja bem: f x não assume valores negativos! Seja c = - 1 , por exemplo:

∄   x ∈ I R   f x = - 1

Se um exemplo desmente, então a equação da letra d não tem solução sempre!

Resposta

(a.1) D e c r e s c i m e n t o → x < 0 C r e s c i m e n t o → x > 0

(a.2) x = 0 → P o n t o   d e   M í n i m o   L o c a l

(b.1) C ô n c a v o   p r a   c i m a → - ∞ , 2 3 ∪ 2 , + ∞ C ô n c a v o   p r a   b a i x o → 2 3 , 2

(b.2) x = 2 3 x = 2 → P o n t o s   d e   i n f l e x ã o

(c)

(d) Não, pois f x não assume valores negativos, por exemplo

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