Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Considere a função f : I R → I R dada por:

f x = - 3 x 4 + 8 x 3 - 6 x 2 + 2

(a) Determine caso exista(m):

(a.1) O(s) intervalo(s) de crescimento e decrescimento de f

(a.2) O(s) valor(es) de x para os quais a função possui máximo local e mínimo local. Atenção: só serão aceitas respostas com justificativas

(b) Determine caso exista(m):

(b.1) O(s) intervalo(s) onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo

(b.2) A(s) abscissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f . Atenção: só serão aceitas respostas com justificativas

(c) Faça abaixo um esboço do gráfico de f . Indique explicitamente em seu desenho as abscissas dos pontos de máximo, de mínimo e de inflexão determinados nos itens anteriores. Esboce também as retas tangentes ao gráfico de f nos pontos em que a derivada é zero e nos pontos de inflexão.

Passo 1

Questão pacote completo em! Quer logo tudo sobre a função! Vamos pelo começo, vendo intervalos de crescimento e decrescimento. Pra isso galera, vamos precisar analisar o sinal da primeira derivada. Saca só:

f ' x = - 3 x 4 + 8 x 3 - 6 x 2 + 2 '

f ' x = - 12 x 3 + 24 x 2 - 12 x

f ' x = - 12 x x 2 - 2 x + 1

Pra gente analisar o sinal, vamos primeiro ver em quais pontos ele muda igualando a primeira derivada a zero:

- 12 x x 2 - 2 x + 1 = 0

- 12 x = 0                 o u                   x 2 - 2 x + 1 = 0

O que é o mesmo que:

- 12 x = 0                 o u                   x 2 - 2 x + 1 = 0

- 12 x = 0                 o u                   x - 1 2 = 0

x = 0                 o u                   x = 1

Beleeeza, agora que achamos esses pontos, vamos analisar o sinal da derivada em intervalos que envolvam eles. Vamos ter:

- ∞ , 0

0,1

1 , + ∞

Pro primeiro intervalo podemos testar, por exemplo, x = - 1 . Vamos ter:

f ' - 1 = - 12 - 1 - 1 2 - 2 - 1 + 1 = 48 > 0

Pro primeiro intervalo podemos testar, por exemplo, x = 1 2 . Vamos ter:

f ' 1 2 = - 12 1 2 1 2 2 - 2 1 2 + 1 = - 3 2 < 0

Pro primeiro intervalo podemos testar, por exemplo, x = 2 . Vamos ter:

f ' 2 = - 12 2 2 2 - 2 2 + 1 = - 24 < 0

Como a função é sempre decrescente quando a primeira derivada é negativa e crescente quando ela é positiva, os intervalos de crescimento e decrescimento são:

F u n ç ã o   c r e s c e n t e   e m   - ∞ , 0 F u n ç ã o   d e c r e s c e n t e   e m   0,1 ∪ 1 , + ∞

E bem, quando a função muda de crescente pra decrescente em um ponto, esse ponto é um de máximo. Oras! Temos isso em x = 0 ! Veja no entanto que ponto de mínimo não teremos. Afinal, nenhum ponto faz a função sair de decrescente para crescente:

P o n t o   d e   m á x i m o   e m   x = 0 S e m   p o n t o   d e   m í n i m o

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bora agora ver então a análise de concavidade. Pra isso a idéia é quaaaase a mesma, ok? Diferença básica é que analisaremos o sinal da segunda derivada. Saca só:

f ' ' x = - 12 x 3 + 24 x 2 - 12 x '

f ' x = - 36 x 2 + 48 x - 12

Igualando a zero:

- 36 x 2 + 48 x - 12 = 0

- 3 x 2 + 4 x - 1 = 0

Opa, uma função de segundo grau que queremos achar as raízes? Tem cheiro de Bháskara em! Seja:

- 3 x 2 + 4 x - 1 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1 , 2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Vamos ter:

x 1,2 = - 4 ± 4 2 - 4 - 3 - 1 2 - 3 = - 4 ± 16 - 12 - 6 = - 4 ± 4 - 6 = - 4 ± 2 - 6

x 1,2 = - 4 ± 2 - 6 = - 4 + 2 - 6 = - 2 - 6 = 1 3 - 4 - 2 - 6 = - 6 - 6 = 1

E finalmente:

- 3 x 2 + 4 x - 1 = 0

- 3 x - 1 x - 1 3 = 0

x = 1                 o u                   x = 1 3

Show, agora que achamos esses pontos, vamos analisar o sinal da derivada em intervalos que envolvam eles. Vamos ter:

- ∞ , 1 3

1 3 , 1

1 , + ∞

Pro primeiro intervalo podemos testar, por exemplo, x = 0 . Vamos ter:

f ' ' 0 = - 36 0 2 + 48 0 - 12 = - 12 < 0

Pro primeiro intervalo podemos testar, por exemplo, x = 1 2 . Vamos ter:

f ' ' 1 2 = - 36 1 2 2 + 48 1 2 - 12 = 3 > 0

Pro primeiro intervalo podemos testar, por exemplo, x = 2 . Vamos ter:

f ' ' 2 = - 36 2 2 + 48 2 - 12 = - 60 < 0

E pronto! A função tem concavidade pra cima nos intervalos em que a segunda derivada é positiva e concavidade pra baixo nos intervalos em que ela é negativa, ok? Sendo assim, vamos ter:

C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a   e m   1 3 , 1 C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o   e m   - ∞ , 1 3 ∪ 1 , + ∞

E como os pontos de inflexão são exatamente aqueles pontos em que a função muda de concavidade, os dois pontos que achamos aqui são de inflexão!

P o n t o s   d e   I n f l e x ã o →   x = 1 3 x = 1

Passo 3

E fechou pessoal, agora é só juntar tudo que achamos pra fazer um esboço maneiro da função. Lembre-se de desenhar as tangentes também!

F u n ç ã o   c r e s c e n t e   e m   - ∞ , 0 F u n ç ã o   d e c r e s c e n t e   e m   0,1 ∪ 1 , + ∞

P o n t o   d e   m á x i m o   e m   x = 0 S e m   p o n t o   d e   m í n i m o

C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a   e m   1 3 , 1 C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o   e m   - ∞ , 1 3 ∪ 1 , + ∞

P o n t o s   d e   I n f l e x ã o →   x = 1 3 x = 1

Resposta

F u n ç ã o   c r e s c e n t e   e m   - ∞ , 0 F u n ç ã o   d e c r e s c e n t e   e m   0,1 ∪ 1 , + ∞

P o n t o   d e   m á x i m o   e m   x = 0 S e m   p o n t o   d e   m í n i m o

C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a   e m   1 3 , 1 C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o   e m   - ∞ , 1 3 ∪ 1 , + ∞

P o n t o s   d e   I n f l e x ã o →   x = 1 3 x = 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas