Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

4) Considere a função f x = 2 - 3 x + 1 x 3 , definida para x ≠ 0

a) Determine as retas assíntotas verticais e horizontais (caso existam), calculando os limites necessários

b) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os pontos críticos. Determine os pontos de máximo e mínimo locais, caso existam

c) Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão

d) Esboce o gráfico da função, destacando os pontos críticos e de inflexão, bem como as assíntotas

Passo 1

Vamo que vamo! Pra começar, vamos conversar sobre assíntotas. Começando pelas verticais, temos que ver o que acontece com os limites laterais pra valores de x que “dão problema” na função. Como não da pra dividir nada por 0 , é exatamente esse o valor que vamos usar! Mas antes, vamos dar uma arrumadinha na função:

f x = 2 - 3 x + 1 x 3 = 2 x 3 x 3 - 3 x 2 x 3 + 1 x 3 = 2 x 3 - 3 x 2 + 1 x 3

Fazendo os limites laterais, temos:

lim x → 0 - ⁡ 2 x 3 - 3 x 2 + 1 x 3 = 1 0 - = - ∞

lim x → 0 + ⁡ 2 x 3 - 3 x 2 + 1 x 3 = 1 0 + = + ∞

Já que os dois limites explodiram, então tai! x = 0 é uma assíntota vertical! Não temos outros candidatos, partimos então pra horizontal! Pra esses aí, a gente faz o limite pros infinitos e vê o que acontece. Saca só como fica:

lim x → ± ⁡ 2 - 3 x + 1 x 3 = 2 - 0 + 0 = 2

Opa, se o limite pros dois infinitos deu um número, então nós temos duas assíntotas horizontais coincidentes. No caso, dá no mesmo dizer que a única assíntota que temos é y = 2

Concluímos:

A s s í n t o t a   V e r t i c a l → x = 0 A s s í n t o t a   H o r i z o n t a l → y = 2

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Passo 2

Agora para falar de pontos de máximo e mínimo e intervalos de crescimento e decrescimento, não tem jeito! Precisamos da nossa querida amiga: a primeira derivada. Mudando um pouco a função pra facilitar, temos:

f x = 2 - 3 x + 1 x 3 = 2 - 3 x - 1 + x - 3

Derivando então:

f ' x = 2 - 3 x - 1 + x - 3 '

f ' x = 3 x - 2 - 3 x - 4 = 3 x 2 - 3 x 4

Colocando tudo no mesmo denominador:

f ' x = 3 x 2 x 4 - 3 x 4 = 3 x 2 - 3 x 4

Como os pontos críticos são aqueles que zeram a primeira derivada ou fazem ela não existir, temos, além do x = 0 , que não está definido, os pontos:

3 x 2 - 3 = 0

3 x 2 = 3

x 2 = 1

x = ± 1

Vamos checar agora o sinal da primeira derivada em intervalos que envolvam os pontos críticos. Ou seja, vamos checar os intervalos:

- ∞ , - 1

- 1,0

0,1

1 ,   + ∞

Pro primeiro intervalo, vamos testar, por exemplo, x = - 2 :

f ' - 2 = 3 ∙ - 2 2 - 3 - 2 4 = 9 16 > 0

Pro segundo intervalo, vamos testar, por exemplo, x = - 1 2 :

f ' - 1 2 = 3 ∙ - 1 2 2 - 3 - 1 2 4 = - 36 < 0

E opa! Se antes de x = - 1 a função era crescente (porque sua primeira derivada tinha sinal positivo) e depois se tornou decrescente (porque passou a ter primeira derivada com sinal negativo), é porque o ponto crítico x = - 1 é um ponto de máximo! Show, anotado!

Vamos partir agora pro teste do sinal no terceiro intervalo. Pra isso, vamos testar x = 1 2 :

f ' 1 2 = 3 ∙ 1 2 2 - 3 1 2 4 = - 36 < 0

E pro último intervalo, vamos testar x = 2 :

f ' 2 = 3 ∙ 2 2 - 3 2 4 = 9 16 > 0

Aqui a gente já tem o inverso! Antes o sinal era negativo e depois passou a ser positivo! Então x = 1 é um ponto de mínimo! Concluímos:

P o n t o s   C r í t i c o s → x = - 1   ; x = 0   ; x = 1 P o n t o   d e   M á x i m o → x = - 1 P o n t o   d e   m í n i m o → x = 1

F u n ç ã o   C r e s c e n t e → - ∞ , - 1 ∪ 1 ,   + ∞ F u n ç ã o   D e c r e s c e n t e → - 1,0 ∪ 0,1

Passo 3

Pra gente fechar as análises e partir pro esboço, vamos agora falar de concavidade. Nossa amiga segunda derivada que será necessária agora. Calculando ela:

f ' ' x = 3 x - 2 - 3 x - 4 '

f ' ' x = - 6 x - 3 + 12 x - 5 = 12 x 5 - 6 x 3

Colocando no mesmo denominador:

f ' ' x = 12 x 5 - 6 x 2 x 5 = 12 - 6 x 2 x 5

Pra gente analisar o sinal da segunda derivada, vamos ver em quais pontos ela zera e fazer intervalos envolvendo esses pontos e o ponto x = 0 , uma vez que ele não está definido. Vamos ter:

12 - 6 x 2 = 0

12 = 6 x 2

x 2 = 2

x = ± 2

Show de bola! Os intervalos que vamos checar serão:

- ∞ , - 2

- 2 , 0

0 , 2

2 ,   + ∞

Pro primeiro intervalo, vamos testar, por exemplo, x = - 2 :

f ' ' - 2 = 12 - 6 - 2 2 - 2 5 = 3 8 > 0

Pro segundo intervalo, vamos testar, por exemplo, x = - 1 :

f ' ' - 1 = 12 - 6 - 1 2 - 1 5 = - 6 < 0

E opa! Se antes de x = - 2 a função tinha concavidade pra cima (porque sua segunda derivada tinha sinal positivo) e depois a concavidade ficou pra baixo (porque passou a ter segunda derivada com sinal negativo), é porque o ponto x = - 2 é um ponto de inflexão!

Vamos partir agora pro teste do sinal no terceiro intervalo. Pra isso, vamos testar x = 1 :

f ' ' 1 = 12 - 6 1 2 1 5 = 6 > 0

E pro último intervalo, vamos testar x = 2 :

f ' ' 2 = 12 - 6 2 2 2 5 = - 3 8 < 0

De novo temos antes e depois com sinais diferentes! O que implica que x = 2 também vai ser um ponto de inflexão!

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o → x = - 2   ; x = 2

C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a → - ∞ , - 2 ∪ 0 , 2 C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o → - 2 , 0 ∪ 2 ,   + ∞

Passo 4

Agora é só juntar tudo pra fazer o esboço:

A s s í n t o t a   V e r t i c a l → x = 0 A s s í n t o t a   H o r i z o n t a l → y = 2

P o n t o s   C r í t i c o s → x = - 1   ; x = 0   ; x = 1 P o n t o   d e   M á x i m o → x = - 1 P o n t o   d e   m í n i m o → x = 1

F u n ç ã o   C r e s c e n t e → - ∞ , - 1 ∪ 1 ,   + ∞ F u n ç ã o   D e c r e s c e n t e → - 1,0 ∪ 0,1

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o → x = - 2   ; x = 2

C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a → - ∞ , - 2 ∪ 0 , 2 C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o → - 2 , 0 ∪ 2 ,   + ∞

Resposta

A s s í n t o t a   V e r t i c a l → x = 0 A s s í n t o t a   H o r i z o n t a l → y = 2

P o n t o s   C r í t i c o s → x = - 1   ; x = 0   ; x = 1 P o n t o   d e   M á x i m o → x = - 1 P o n t o   d e   m í n i m o → x = 1

F u n ç ã o   C r e s c e n t e → - ∞ , - 1 ∪ 1 ,   + ∞ F u n ç ã o   D e c r e s c e n t e → - 1,0 ∪ 0,1

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o → x = - 2   ; x = 2

C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a → - ∞ , - 2 ∪ 0 , 2 C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o → - 2 , 0 ∪ 2 ,   + ∞

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