Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

3) Considere a função

f x = ln ⁡ x x

Determine, caso existam:

  1. O domínio da função f
  2. As equações das assíntotas verticais do gráfico de f
  3. As equações das assíntotas horizontais do gráfico de f
  4. Os intervalos de crescimento e decrescimento de f
  5. Os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo.
  6. Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico da função f . Marque em seu desenho as assíntotas verticais e horizontais e as abscissas dos pontos de máximo local, mínimo local e de inflexão do gráfico de f , caso existam.

Passo 1

A questão quer da gente bastante coisa a respeito da nossa f x . Então vamos lá dar pra ela o que ela quer. Vamos começar com o domínio. Vendo bem a nossa função:

f x = ln ⁡ x x

A gente vê que x ≤ 0 não rola! Veja bem, não podemos nem dividir nada por 0 e também não tem como inserirmos valores menores ou iguais à 0 dentro de ln ⁡ x . Sendo assim, o domínio de f x vai ser:

0 , + ∞

Beleza, primeira linha completa, vamos ver as próximas duas: as assíntotas! Começando pelas horizontais, pra gente ver se tem assíntotas, vamos ter que fazer o limite. Então partiu:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = ∞ ∞

Perceba que não estamos nem ligando pra limite com x → - ∞ porque o domínio não inclui valores negativos. Como o limite deu uma indeterminação do tipo ∞ ∞ , vai valer L’Hospital! Realizando LH então, ficamos com:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x ' x ' = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 1 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x = 0

Opa, então temos sim uma assíntota horizontal! A reta:

y = 0

Agora pra ver a vertical, como 0 é uma fronteira aberta do domínio de f , ele pode ser um bom candidato à assíntota vertical em! Calculando o limite então:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x x = - ∞ 0 = - ∞

Opa, então temos mais uma assíntota, a reta:

x = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ver agora tudo que envolva a primeira derivada de f x . Como essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico, vai dar pra saber quando a função é decrescente ou crescente e em quais pontos ela troca entre eles. Derivando então:

f ' x = ln ⁡ x x '

Pela regra do quociente:

f ' x = ln ⁡ x ' x - ln ⁡ x x ' x 2 = x x - ln ⁡ x x 2 = 1 - ln ⁡ x x 2

Beleza. Se a primeira derivada for positiva, a função é crescente. Se for negativa, decrescente. Então vamos igualar à 0 e ver quando isso acontece:

f ' x = 1 - ln ⁡ x x 2 = 0

1 - ln ⁡ x = 0

ln ⁡ x = 1

x = e

Ok, uma raiz só na primeira derivada. Vamos checar o sinal dela então em intervalos que envolvam essa raiz e o domínio de f . Os intervalos vão ser:

0 < x < e

x > e

No primeiro, vamos testar x = 0,5 por exemplo. Vamos ter:

f ' 0,5 = 1 - ln ⁡ 0,5 0,5 2 = 6,77 > 0

E no segundo, vamos testar x = 3 por exemplo. Vamos ter:

f ' 3 = 1 - ln ⁡ 3 3 2 = - 0,01 < 0

Opa, se antes de x = e a função era crescente e depois se tornou decrescente, completamos então a tabela com as seguintes linhas:

P o n t o   d e   M á x i m o → x = e P o n t o   d e   M í n i m o → N ã o   t e m C r e s c e n t e   e m → 0 , e D e c r e s c e n t e   e m → e , + ∞

Passo 3

Bora ver agora a concavidade. Pra isso, a gente vai precisar derivar de novo, beleza? A segunda derivada vai ser então:

f ' ' x = 1 - ln ⁡ x x 2 '

Pela regra do quociente:

f ' ' x = x 2 1 - ln ⁡ x ' - x 2 ' 1 - ln ⁡ x x 4 = x 2 - 1 x - 2 x 1 - ln ⁡ x x 4

f ' ' x = - x - 2 x + 2 x ln ⁡ x x 4 = - 3 x + 2 x ln ⁡ x x 4 = - 3 + 2 ln ⁡ x x 3

Igualando à 0 , temos:

f ' ' x = - 3 + 2 ln ⁡ x x 3 = 0

- 3 + 2 ln ⁡ x = 0

2 ln ⁡ x = 3

ln ⁡ x = 3 2

x = e 3 2

A ideia aqui é a mesma, beleza? Os intervalos que envolvem o valor encontrado e o domínio vão ser:

0 < x < e 3 2

x > e 3 2

No primeiro intervalo, vamos testar x = 1 por exemplo. Vamos ter:

f ' 1 = - 3 + 2 ln ⁡ 1 1 3 = - 3 < 0

E no segundo intervalo, vamos testar x = 5 por exemplo. Vamos ter:

f ' 5 = - 3 + 2 ln ⁡ 5 5 3 ≅ 0,002 > 0

Como a concavidade é pra baixo no intervalo que a segunda derivada é negativa, vamos ter:

C ô n c a v o   p r a   b a i x o → 0 , e 3 2

Já a concavidade pra cima ocorre quando a segunda derivada é positiva, logo:

C ô n c a v o   p r a   c i m a → e 3 2 , + ∞

E pra fechar com chave de ouro, como a concavidade só muda uma vez, o único ponto de inflexão vai ser exatamente x = e 3 2

Passo 4

Terminamos a questão! Agora é só esboçar o gráfico. Enfim, ficamos com:

Resposta

  1. D o m f = 0 , + ∞
  2. A s s í n t o t a   V e r t i c a l → x = 0
  3. A s s í n t o t a   H o r i z o n t a l → y = 0
  4. P o n t o   d e   M á x i m o → x = e P o n t o   d e   M í n i m o → N ã o   t e m C r e s c e n t e   e m → 0 , e D e c r e s c e n t e   e m → e , + ∞
  5. C ô n c a v o   p r a   b a i x o → 0 , e 3 2 C ô n c a v o   p r a   c i m a → e 3 2 , + ∞ P o n t o   d e   I n f l e x ã o → x = e 3 2

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