Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Considere a função y = f x = x x 2 + 9 . Determine:

( a ) O domínio de f ;

( b ) Os interceptos;

( c ) As simetrias de f ;

( d ) As assíntotas;

( e ) Intervalos de crescimento e decrescimento;

( f ) Valores máximos e mínimos locais;

( g ) Discuta concavidade e dê os pontos de inflexão;

( h ) Use a informação obtida para esboçar o gráfico de f .

Passo 1

( a ) Bom, não tem nada que complique a existência da função; o denominador é sempre positivo, então nunca será nulo. De resto, nada limitaria a existência da função. Logo o domínio é R .

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Passo 2

( b ) Quando ele pede os interceptos ele deseja saber aonde esse termo cruza os eixos:

x = 0 → f 0 = 0 ( 0 ) 2 + 9 = 0

y = 0 → 0 = x x 2 + 9 ; x = 0

Achamos apenas um um ponto, que é onde ele cruza os dois eixos de uma vez:

( 0,0 )

Passo 3

( c ) O gráfico possui simetria por ser uma função ímpar f x = - f x , para comprovar basta usar qualquer par de pontos igualmente distante a x = 0 . Logo, tem simetria ímpar.

Passo 4

( d ) Para resolver essa letra devemos levar em conta que os limites da função quando x está tendendo para + ∞ e - ∞ para descobrir as assíntotas horizontais. Para as verticais, não teremos nenhuma, uma vez que a função é contínua ao longo de todo seu eixo x :

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 9 = ∞ ∞ ⇒ L ' H lim x → + ∞ ⁡ 1 2 x = 0

lim x → - ∞ ⁡ x x 2 + 9 = - ∞ ∞ lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x = 0 = 0

Logo, temos apenas uma assíntota, y = 0 , que é horizontal.

Passo 5

( e ) Ele pede intervalos de crescimento e decrescimento. Precisamos, então, olhar para o sinal da derivada primeira. Vamos usar a Regra do Quociente para derivar:

f ' x = x ' x 2 + 9 - x x 2 + 9 ' x 2 + 9 2 = x 2 + 9 - x 2 x x 2 + 9 2 = 9 - x 2 x 2 + 9 2

Bom, se x 2 + 9 2 é sempre positivo, por estar ao quadrado, sabemos que o sinal só depende de ( 9 - x 2 ) . É uma parábola com concavidade para baixo e raízes em - 3 e 3 . Logo, ela é positiva entre ± 3 e negativa no resto do domínio.

Assim, f ( x ) é crescente em [ - 3,3 ] e decrescente no resto do domínio.

Passo 6

( f ) Os pontos de máximo e de mínimo locais (os famosos pontos críticos) são encontrados quando f ' x = 0 . Nesse caso, sabemos que os pontos onde isso ocorre são x = ± 3 . Como a derivada é positiva antes e negativa depois, sabemos que x = 3 é um ponto de máximo local; para o outro, x = - 3 , a derivada é negativa antes e positiva depois, é ponto de mínimo local.

Passo 7

( g ) Concavidade é derivada segunda; vamos derivar f ' ( x ) e analisar o sinal de f ' ' ( x ) :

f ' ' x = ( 9 - x 2 ) ' x 2 + 9 2 - 9 - x 2 [ x 2 + 9 2 ] ' x 2 + 9 4

= - 2 x x 2 + 9 2 - 9 - x 2 2 x 2 + 9 2 x x 2 + 9 4

= - 2 x 3 - 18 x - 36 x + 4 x 3 x 2 + 9 4 = 2 x 3 - 54 x x 2 + 9 4

Pelo resultado, notamos que o sinal só depende de ( 2 x 3 - 54 x ) .

2 x 3 - 54 x = 0 → x = 0

x 2 - 27 = 0 → x = ± 3 3

Bom, a gente vai observar que antes de x = - 3 3 f ' ' ( x ) é negativa. Em - 3 3 , 0 é positiva, [ 0,3 3 ] negativa. A partir daí ela é positiva.

Assim, f ( x ) é côncava para cima em - 3 3 , 0 ∪ [ 3 3 , + ∞ [ , para baixo em ] - ∞ , - 3 3 ] ∪ [ 0,3 3 ] .

Passo 8

( h ) Juntando as informações: - D o m = R

- I n t e r c e p t a   o s   e i x o s   e m   ( 0,0 )

- H á   s i m e t r i a   í m p a r

-   A s s í n t o t a   e m   y = 0

- f ( x )   é   c r e s c e n t e   e m   [ - 3,3 ]   e   d e c r e s c e n t e   n o   r e s t o   d o   d o m í n i o

- x = 3 é   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l ; x = - 3 é   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l

- f ( x )   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   [ - 3 √ 3,0 ] ∪ [ 3 √ 3 , + ∞ [ ;

  p a r a   b a i x o   e m   ] - ∞ , - 3 √ 3 ] ∪ [ 0,3 √ 3 ]

Esboçando, fica assim:

Resposta

a   R

b   I n t e r c e p t a   o s   e i x o s   e m   ( 0,0 )

c   S i m e t r i a   í m p a r

d   y = 0

e   f ( x )   é   c r e s c e n t e   e m   [ - 3,3 ]   e   d e c r e s c e n t e   n o   r e s t o   d o   d o m í n i o

f   x = 3 é   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l ; x = - 3 é   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l

g   f ( x )   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   [ - 3 √ 3,0 ] ∪ [ 3 √ 3 , + ∞ [ ;

  p a r a   b a i x o   e m   ] - ∞ , - 3 √ 3 ] ∪ [ 0,3 √ 3 ]

h   F i g u r a   a c i m a

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