Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Considere a função

f x = x + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 - x 2 + 2 x + 1 ,     s e   x ≥ 0

(a) Esboce o gráfico da função f .

(b) Considere um retângulo A B C D satisfazendo as seguintes condições:

  • O vértice A está no eixo x negativo e possui abscissa a
  • O vértice B está no eixo x positivo e possui abscissa b
  • O vértice C está no gráfico da função f e possui abscissa b
  • O vértice D está no gráfico da função f e possui abscissa a

(b.1) Escreva as ordenadas dos vértices C e D em termos de b .

(b.2) Determine o domínio e a expressão da função P b , que fornece o perímetro do retângulo em termos de b

Passo 1

Opa, calma aí! Esboço de gráfico? É galera, aqui a gente vai precisar usar um pouco a imaginação pra não precisar fazer aquele esboço demorado que envolve teste de derivadas e tudo mais. Pra começar, pensa na primeira lei de formação:

y = x + 1

Se elevarmos os dois lados ao quadrado, temos:

y 2 = x + 1

x = y 2 - 1

Po, isso não te lembra nada não? É a equação de uma parábola! A diferença é que tem o x e o y trocado de lugar! Então y = x + 1 pra gente esboçar basta a gente desenhar uma parábola, mas de lado. Saca só como fica:

Mas vamos com calma! Pra começar, o y > 0 sempre porque não existe raiz negativa. Então já reduzimos um pouco esse desenho:

Agora ainda temos que pensar que a lei de formação só tá definida pra - 1 ≤ x < 0 . Reduzimos ainda mais o desenho:

Agora, pra segunda parte da função,temos uma parábola de cabeça pra baixo, já que o número que multiplica o termo x 2 é negativo. Show de bola, nota ainda que em:

y = - x 2 + 2 x + 1

Se x = 0 , y = 1 . Sendo assim essa curva vai sair do eixo O y no mesmo ponto que a primeira curva parou! Pra fechar um esboço legal a gente pode escolher um x qualquer perto do 0 e ver se ele é maior que 1 . Escolhendo x = 1 :

y = - 1 2 + 2.1 + 1 = 2

Beleza então pelo menos entre 0 e 1 a curva está subindo! Cara, isso quer dizer que o ponto de máximo de y = - x 2 + 2 x + 1 está em x ≥ 0 ! Beleza, nosso esboço no final das contas fica:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tranquilo então, temos o nosso esboço da curva, vamos esboçar então pra entender melhor a questão o retângulo A B C D . Uma coisa de cada vez ok? Bora então marcar ponto a ponto:

O   v é r t i c e   A   e s t á   n o   e i x o   x   n e g a t i v o   e   p o s s u i   a b s c i s s a   a

O   v é r t i c e   B   e s t á   n o   e i x o   x   p o s i t i v o   e   p o s s u i   a b s c i s s a   b

O   v é r t i c e   C   e s t á   n o   g r á f i c o   d a   f u n ç ã o   f   e   p o s s u i   a b s c i s s a   b

O   v é r t i c e   D   e s t á   n o   g r á f i c o   d a   f u n ç ã o   f   e   p o s s u i   a b s c i s s a   a

Pronto, agora fica mais tranquilo da gente entender. A questão quer as ordenadas dos pontos C e D. Veja pelo esboço que as duas estão “a mesma altura”, mas estão sobre leis de formação diferentes de f x . Esses pontos vão ser então:

D = a , a + 1

C = b , - b 2 + 2 b + 1

Mas como a questão quer tudo em termos de b e os pontos tão na mesma altura, responder a (b.1) é tranquilo, só escrever assim ó:

D = a , - b 2 + 2 b + 1

C = b , - b 2 + 2 b + 1

Passo 3

Pro cálculo do perímetro temos que pensar na base e na altura primeiro, e tudo em função de b . A altura já ta dada pois é somente a altura dos pontos D , C . Vamos ter:

H = H b = - b 2 + 2 b + 1

Agora a base é um tico mais complicado. Veja só, podemos entender ela como:

B = b + a

Mas aí não temos uma função de b ! Pra gente conseguir fazer B = B b temos que escrever a como uma função de b , isto é, a = a b , tranquilo? Pra isso, olha a sagacidade: se os pontos D , C tem a mesma altura...

D = a , a + 1

C = b , - b 2 + 2 b + 1

...então eles tem a mesma coordenada y ! Igualando:

a + 1 = - b 2 + 2 b + 1

a + 1 = - b 2 + 2 b + 1 2

a = - b 2 + 2 b + 1 2 - 1

Perfeito! Fechamos a expressão da base:

B = B b = - b 2 + 2 b + 1 2 - 1 + b

E como o perímetro é nada mais nada menos que o dobro da soma da base com a altura, chegamos a expressão dele:

P = 2 B + H

P b = 2 - b 2 + 2 b + 1 2 - 1 + b   - b 2 + 2 b + 1

P b = 2 - b 2 + 2 b + 1 2 - b 2 + 3 b

E pra fechar com chave de ouro, só responder o domínio! Pra isso, note que P b é um polinômio! Polinômios não são funções que “dão problema” então qualquer b que eu dê pra função ele me retorna um P b , sem restrição! O domínio será:

D f = I R

Resposta

D = a , - b 2 + 2 b + 1

C = b , - b 2 + 2 b + 1

P b = 2 - b 2 + 2 b + 1 2 - b 2 + 3 b

D f = I R

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